İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 42, 20, 21, 38, 27, 16.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 122,5'ün altındadır?

μ = 100σ = 15x = 122,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,6 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,6k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 169,6 ile 181,5 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 181,5

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %60 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 97,5 ve standart sapması s = 8,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 7x̄ = 97,5s = 8,590%t(6) = 1,943

E =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 11 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 10 ile χ² dağılımının %2,5’i 3,247 değerinin altında, %2,5’i 20,483 değerinin üstündedir.

n = 11s = 1,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

15 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −2,77 ve farkların standart sapması 2,9. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 15d̄ = −2,77s_d = 2,9

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 204,1. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 204,1σ = 15n = 4990%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 14) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4,5, 14)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,47

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 220/7 = 31,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 24,57² + 10,57² + (−11,43)² + (−10,43)² + 6,571² + (−4,429)² + (−15,43)² = 1256

Standart sapma

s = √(1256/6) = 14,47

Cevap

s = 14,47

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: σ = 9,421

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,1 + 20·0,3 + 30·0,35 + 40·0,25 = 27,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,3 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 845

Varyans

Var(X) = 845 − 27,5² = 88,75

σ = √88,75 = 9,421

Cevap

σ = 9,421

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2007

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 252·0,6⁵·0,4⁵ = 252·0,07776·0,01024 = 0,2007

Cevap

P = 0,2007

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5764

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764

Cevap

P = 0,5764

6.Normal dağılım

Cevap: x = 251,3 g

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,6

Tablodan z

z ≈ 0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Cevap

x = 251,3 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,242

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Hata payı

E = 1,943·8,5/√7 = 6,242

Cevap

E = 6,242

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 0,8385 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 10·1,2² = 14,4

σ² için sınırlar

14,4/20,483 = 0,703

14,4/3,247 = 4,435

σ için sınır

σ = √0,703 = 0,8385 µm

Cevap

σ = 0,8385 µm

σ için %95 aralık: [0,8385, 2,106] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,699

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 2,9/√15 = 0,7488

Test istatistiği

t = −2,77/0,7488 = −3,699

Cevap

t = −3,699

df = 14 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,145; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 207,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·15/√49 = 3,525

Aralık sınırı

U = 204,1 + 3,525 = 207,6

Cevap

U = 207,6

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9941

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 519/6 = 86,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 475

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3262

Korelasyon katsayısı

r = 475/√(70·3262) = 0,9941

Cevap

r = 0,9941

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Regresyon doğrusu

b = −28/10 = −2,8

a = 22,2 − (−2,8)·3 = 30,6

ŷ = 30,6 − 2,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 30,6 + (−2,8)·4,5 = 18

Artık

e = 14 − 18 = −4

Cevap

e = −4

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1