İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 39, 52, 13, 51, 35.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 34'ün üstündedir?

μ = 50σ = 20x = 34

P =

3.OlasılıkOrta

12 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 12k = 5

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,1k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 92,5 ile 122,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 122,5

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

20 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,8 ve standart sapması 4,9. Ortalama fark için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 20d̄ = 4,8s_d = 4,995%t(19) = 2,093

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 7 parsel, ortalama verim 23,5 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 5 parsel, ortalama 20 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 7x̄₁ = 23,5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 20s₂ = 6,595%t(10) = 2,228

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 247,99. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 18n = 144x̄ = 247,99H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 5. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 5E = 1,590%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 112 tahmin eder?

n = 6ŷ = 112

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,81

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 190/5 = 38

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1² + 14² + (−25)² + 13² + (−3)² = 1000

Standart sapma

s = √(1000/4) = 15,81

Cevap

s = 15,81

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7881

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

3.Olasılık

Cevap: N = 792

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Cevap

N = 792

4.Olasılık

Cevap: P = 0,001488

Binom formülü

P(X = 5) = 252·0,1⁵·0,9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0,5905 = 0,001488

Cevap

P = 0,001488

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6247

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Aradaki alan

P = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

Cevap

P = 0,6247

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9633

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Cevap

P = 0,9633

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 2,507 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 19, t = 2,093

Hata payı

E = 2,093·4,9/√20 = 2,293

Aralık

4,8 ± 2,293 → [2,507, 7,093]

Cevap

alt sınır = 2,507 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −2,661 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (6·3² + 4·6,5²)/10 = 22,3

s_p = 4,722

Hata payı

E = 2,228·4,722·√(1/7 + 1/5) = 6,161

Aralık

3,5 ± 6,161 → [−2,661, 9,661]

Cevap

alt sınır = −2,661 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,09012

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (247,99 − 250)/1,5 = −1,34

Kuyruk alanı

Φ(1,34) = 0,9099

1 − Φ(1,34) = 0,0901

p-değeri

p = 0,09012

Cevap

p = 0,09012

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 31

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·5/1,5)² = 30,07

Yukarı yuvarlayın

n = 31

Cevap

n = 31

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9659

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 447/6 = 74,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 609,5

Belirlilik katsayısı

r² = 203²/(70·609,5) = 0,9659

Cevap

r² = 0,9659

y’deki değişimin yaklaşık %96,59’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 20,19

Ortalamalar

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 666/6 = 111

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

Regresyon doğrusu

b = 372/70 = 5,314

a = 111 − 5,314·20 = 4,714

ŷ = 4,714 + 5,314·x

x için çözün

x = (112 − 4,714)/5,314 = 20,19

Cevap

x = 20,19

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1