İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 41, 45, 22, 41, 22, 47.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 85'ün altındadır?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 7

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 5. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 111,4 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

6 birimlik bir örneklemin ortalaması 55,5 ve standart sapması s = 14. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 6x̄ = 55,5s = 1495%t(5) = 2,571

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 11 milin çaplarının örneklem standart sapması 6,6 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 10 ile χ² dağılımının %2,5’i 3,247 değerinin altında, %2,5’i 20,483 değerinin üstündedir.

n = 11s = 6,6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 200,6, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 200,6s = 4n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 199,1. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 199,1σ = 4n = 6490%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6,5, 69) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(6,5, 69)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,46

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 236/7 = 33,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−15,71)² + 7,286² + 11,29² + (−11,71)² + 7,286² + (−11,71)² + 13,29² = 931,4

Standart sapma

s = √(931,4/6) = 12,46

Cevap

s = 12,46

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7209

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Cevap

P = 0,7209

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 12

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 1,6, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

Doğrusal değişim

σ_Y = |10|·1,2 = 12

Cevap

σ_Y = 12

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·1,6 + 5 = 21.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,1587

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

6.Normal dağılım

Cevap: x = 37,05 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Cevap

x = 37,05 min

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 70,19

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Hata payı

E = 2,571·14/√6 = 14,69

Aralık

55,5 ± 14,69 → [40,81, 70,19]

Cevap

üst sınır = 70,19

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 4,612 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 10·6,6² = 435,6

σ² için sınırlar

435,6/20,483 = 21,27

435,6/3,247 = 134,2

σ için sınır

σ = √21,27 = 4,612 µm

Cevap

σ = 4,612 µm

σ için %95 aralık: [4,612, 11,58] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,75

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Test istatistiği

t = (200,6 − 200)/0,8 = 0,75

Cevap

t = 0,75

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 198,3

Hata payı

E = 1,645·4/√64 = 0,8225

Aralık sınırı

L = 199,1 − 0,8225 = 198,3

Cevap

L = 198,3

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9448

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 108/6 = 18

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 74

Korelasyon katsayısı

r = −34/√(17,5·74) = −0,9448

Cevap

r = −0,9448

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,829

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 360/6 = 60

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73

Regresyon doğrusu

b = 73/17,5 = 4,171

a = 60 − 4,171·5,5 = 37,06

ŷ = 37,06 + 4,171·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 37,06 + 4,171·6,5 = 64,17

Artık

e = 69 − 64,17 = 4,829

Cevap

e = 4,829

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1