Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 28, 38, 14, 59, 44, 12.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 57,2 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 50σ = 12x = 57,2
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,1, 0,2
σ =
4.OlasılıkZor
Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,7k = 4
P =
5.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 50,5 ile 67,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 67,5
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
16 birimlik bir örneklemin ortalaması 73,5 ve standart sapması s = 19. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 16x̄ = 73,5s = 1995%t(15) = 2,131
E =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 23. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 23E = 195%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 25 olduğu biliniyor. 100 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 106,05. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ ≠ 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 100σ = 25n = 100x̄ = 106,05H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 53’i, B tedavisi alan 200 hastadan 48’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 48n₂ = 200
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 24 tahmin eder?
n = 5ŷ = 24
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,15
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 195/6 = 32,5
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−4,5)² + 5,5² + (−18,5)² + 26,5² + 11,5² + (−20,5)² = 1648
Standart sapma
s = √(1648/5) = 18,15
Cevap
s = 18,15
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 0,6
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (57,2 − 50)/12 = 0,6
Cevap
z = 0,6
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,179
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,2 = 2,1
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,8
Varyans
Var(X) = 5,8 − 2,1² = 1,39
σ = √1,39 = 1,179
Cevap
σ = 1,179
4.Olasılık
Cevap: P = 0,3241
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 4) = 15·0,74·0,32 = 15·0,2401·0,09 = 0,3241
Cevap
P = 0,3241
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,5252
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25
Aradaki alan
P = Φ(0,25) − Φ(−1,45) = 0,5987 − 0,07353 = 0,5252
Cevap
P = 0,5252
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9099
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Cevap
P = 0,9099
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 10,12
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Hata payı
E = 2,131·19/√16 = 10,12
Cevap
E = 10,12
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 2033
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·23/1)² = 2032
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 2033
Cevap
n = 2033
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,01552
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (106,05 − 100)/2,5 = 2,42
Kuyruk alanı
Φ(2,42) = 0,9922
1 − Φ(2,42) = 0,0078
p-değeri
p = 2·0,0078 = 0,01552
Cevap
p = 0,01552
p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 2,316
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 53/150 = 0,3533
p̂₂ = 48/200 = 0,24
p̂ = 101/350 = 0,2886
H₀ altında standart hata
SE = √(0,2886·0,7114·(1/150 + 1/200)) = 0,04894
Test istatistiği
z = (0,3533 − 0,24)/0,04894 = 2,316
Cevap
z = 2,316
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9773
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 495/5 = 99
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1880
Korelasyon katsayısı
r = 402/√(90·1880) = 0,9773
Cevap
r = 0,9773
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 1,462
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Regresyon doğrusu
b = −26/10 = −2,6
a = 20 − (−2,6)·3 = 27,8
ŷ = 27,8 − 2,6·x
x için çözün
x = (24 − 27,8)/(−2,6) = 1,462
Cevap
x = 1,462
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1