İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 31, 27, 10, 43, 43, 19.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 65'ün altındadır?

μ = 50σ = 12x = 65

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,2k = 1

P =

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 76 ile 103 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 103

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 145 h, bilinen standart sapma 13 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 155,5 h, bilinen standart sapma 17 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 145 hσ₁ = 13 hn₂ = 30x̄₂ = 155,5 hσ₂ = 17 h95%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,6 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,6E = 0,02599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 8 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 102,46. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 100σ = 8n = 64x̄ = 102,46H₁: μ > μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 3σ = 15z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 115Σx² = 91Σy² = 2369Σxy = 351

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 3

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,03

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 199/7 = 28,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + 2,571² + (−1,429)² + (−18,43)² + 14,57² + 14,57² + (−9,429)² = 867,7

Standart sapma

s = √(867,7/6) = 12,03

Cevap

s = 12,03

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: σ = 2,216

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,7

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12,2

Varyans

Var(X) = 12,2 − 2,7² = 4,91

σ = √4,91 = 2,216

Cevap

σ = 2,216

4.Olasılık

Cevap: P = 0,302

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 1) = 9·0,2¹·0,8⁸ = 9·0,2·0,1678 = 0,302

Cevap

P = 0,302

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5245

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−1,6) = 0,5793 − 0,0548 = 0,5245

Cevap

P = 0,5245

6.Normal dağılım

Cevap: x = 88,26 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 puan

Cevap

x = 88,26 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −2,842 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 145 − 155,5 = −10,5

Standart hata

SE = √(13²/30 + 17²/30) = 3,907

Hata payı

E = 1,96·3,907 = 7,658

Aralık

−10,5 ± 7,658 → [−18,16, −2,842]

Cevap

üst sınır = −2,842 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 2549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,6·0,4/0,025² = 2548

Yukarı yuvarlayın

n = 2549

Cevap

n = 2549

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,006947

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (102,46 − 100)/1 = 2,46

Kuyruk alanı

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

p-değeri

p = 0,006947

Cevap

p = 0,006947

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 215

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·15/3)² = 214,2

Yukarı yuvarlayın

n = 215

Cevap

n = 215

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9589

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 351 − 21·115/6 = −51,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2369 − 115²/6 = 164,8

Korelasyon katsayısı

r = −51,5/√(17,5·164,8) = −0,9589

Cevap

r = −0,9589

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 6,224

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 85/6 = 14,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139

Regresyon doğrusu

b = 139/70 = 1,986

a = 14,17 − 1,986·7 = 0,2667

ŷ = 0,2667 + 1,986·x

Tahmin

ŷ = 0,2667 + 1,986·3 = 6,224

Cevap

ŷ = 6,224

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1