Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 33, 39, 54, 25, 21, 56.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 47,5'ün üstündedir?
μ = 50σ = 5x = 47,5
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.OlasılıkZor
6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,1
P =
5.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 23 ile 44,3 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 44,3
P =
6.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %5 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
7.Güven aralıklarıOrta
20 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 7,5 ve standart sapması 1,9. Ortalama fark için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 20d̄ = 7,5sd = 1,999%t(19) = 2,861
alt sınır = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 18 kg, standart sapma 7,5 kg. Parsel grubu 2: 8 parsel, ortalama 13,5 kg, standart sapma 5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 8x̄₁ = 18s₁ = 7,5n₂ = 8x̄₂ = 13,5s₂ = 595%t(14) = 2,145
üst sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 197,8, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 200x̄ = 197,8s = 10n = 16
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 19. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 80%δ = 4σ = 19zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 42Σy = 93Σx² = 364Σy² = 1765Σxy = 800
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 2
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 14,59
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 228/6 = 38
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 1² + 16² + (−13)² + (−17)² + 18² = 1064
Standart sapma
s = √(1064/5) = 14,59
Cevap
s = 14,59
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,6915
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,5
Standart normal tablo
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 0,6475
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Varyans
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Cevap
Var(X) = 0,6475
4.Olasılık
Cevap: P = 0,8857
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Toplayın
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Cevap
P = 0,8857
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,913
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Aradaki alan
P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913
Cevap
P = 0,913
6.Normal dağılım
Cevap: x = 241,8 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,05
Tablodan z
z ≈ −1,64
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Cevap
x = 241,8 g
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 6,284 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 19, t = 2,861
Hata payı
E = 2,861·1,9/√20 = 1,216
Aralık
7,5 ± 1,216 → [6,284, 8,716]
Cevap
alt sınır = 6,284 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 11,34 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (7·7,5² + 7·5²)/14 = 40,63
sp = 6,374
Hata payı
E = 2,145·6,374·√(1/8 + 1/8) = 6,836
Aralık
4,5 ± 6,836 → [−2,336, 11,34]
Cevap
üst sınır = 11,34 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,88
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Test istatistiği
t = (197,8 − 200)/2,5 = −0,88
Cevap
t = −0,88
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 140
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 0,842)·19/4)² = 139,6
Yukarı yuvarlayın
n = 140
Cevap
n = 140
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9901
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 800 − 42·93/6 = 149
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1765 − 93²/6 = 323,5
Korelasyon katsayısı
r = 149/√(70·323,5) = 0,9901
Cevap
r = 0,9901
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 38,6
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 271/6 = 45,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115
Regresyon doğrusu
b = 115/70 = 1,643
a = 45,17 − 1,643·6 = 35,31
ŷ = 35,31 + 1,643·x
Tahmin
ŷ = 35,31 + 1,643·2 = 38,6
Cevap
ŷ = 38,6
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1