İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 33, 60, 47, 45, 19, 51.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 40 olan normal dağılımlıdır. 550 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 40x = 550

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 6

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,2 olasılıkla €15, 0,01 olasılıkla €30 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €3€15: p = 0,2€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 88,75 ile 108,25 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 108,25

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %70 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 0,9 ve standart sapması 1. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 7d̄ = 0,9s_d = 199%t(6) = 3,707

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 9 parsel, ortalama verim 16,5 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 7 parsel, ortalama 9 kg, standart sapma 5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 9x̄₁ = 16,5s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 9s₂ = 590%t(14) = 1,761

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 53,6, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 53,6s = 15n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 11. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 2σ = 11z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (1,5, 22) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(1,5, 22)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,47

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 255/6 = 42,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−9,5)² + 17,5² + 4,5² + 2,5² + (−23,5)² + 8,5² = 1048

Standart sapma

s = √(1048/5) = 14,47

Cevap

s = 14,47

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,25

Standartlaştırın

z = (550 − 500)/40 = 1,25

Cevap

z = 1,25

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1818

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818

Cevap

P = 0,1818

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 0,3 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 12 (p = 0,2), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Beklenen değer

E(G) = 12·0,2 + 27·0,01 − 3·0,79 = 0,3 €

Cevap

E(G) = 0,3 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4822

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Aradaki alan

P = Φ(0,55) − Φ(−0,75) = 0,7088 − 0,2266 = 0,4822

Cevap

P = 0,4822

6.Normal dağılım

Cevap: x = 247,4 g

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,3

Tablodan z

z ≈ −0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Cevap

x = 247,4 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 1,401 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 6, t = 3,707

Hata payı

E = 3,707·1/√7 = 1,401

Cevap

E = 1,401 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,534 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (8·3² + 6·5²)/14 = 15,86

s_p = 3,982

Hata payı

E = 1,761·3,982·√(1/9 + 1/7) = 3,534

Cevap

E = 3,534 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Test istatistiği

t = (53,6 − 50)/3 = 1,2

Cevap

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 328

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·11/2)² = 327,4

Yukarı yuvarlayın

n = 328

Cevap

n = 328

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9731

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 581/5 = 116,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1383

Belirlilik katsayısı

r² = 232²/(40·1383) = 0,9731

Cevap

r² = 0,9731

y’deki değişimin yaklaşık %97,31’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −1,8

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Regresyon doğrusu

b = −28/10 = −2,8

a = 19,6 − (−2,8)·3 = 28

ŷ = 28 − 2,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 28 + (−2,8)·1,5 = 23,8

Artık

e = 22 − 23,8 = −1,8

Cevap

e = −1,8

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1