Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 36, 17, 60, 50.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 78,75 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 15x = 78,75
z =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 2 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 2
P =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 1. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35Y = 3X + 1
σY =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9281 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9281
z =
6.Normal dağılımZor
Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 6,4. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?
95%n₁ = 25E₁ = 6,499%
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 40. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 40E = 0,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 15 öğrenci, ortalama puan 119,5, standart sapma 5. Grup 2: 6 öğrenci, ortalama puan 123, standart sapma 2,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.
n₁ = 15x̄₁ = 119,5s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 123s₂ = 2,5
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 16 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 93.4’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 100μ = 93,4σ = 16n = 64α = 0,01
β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (1,5, 22) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(1,5, 22)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,62
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 183/5 = 36,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−16,6)² + (−0,6)² + (−19,6)² + 23,4² + 13,4² = 1387
Standart sapma
s = √(1387/4) = 18,62
Cevap
s = 18,62
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1,25
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (78,75 − 60)/15 = 1,25
Cevap
z = 1,25
3.Olasılık
Cevap: P = 0,3056
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Cevap
P = 0,3056
4.Olasılık
Cevap: σY = 6,946
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 3,2, Var(X) = 5,36, σX = 2,315
Doğrusal değişim
σY = |3|·2,315 = 6,946
Cevap
σY = 6,946
Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·3,2 + 1 = 10,6.
5.Normal dağılım
Cevap: z = 1,8
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9281)/2 = 0,9641
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9641 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,80
Cevap
z = 1,80
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7389
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Cevap
P = 0,7389
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 8,411
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Yeni hata payı
E₂ = 6,4·1,314 = 8,411
Cevap
E₂ = 8,411
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 17319
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·40/0,5)² = 17319
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 17319
Cevap
n = 17319
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −1,618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Birleştirilmiş varyans
sp² = (14·5² + 5·2,5²)/19 = 20,07
sp = 4,479
Standart hata
SE = 4,479·√(1/15 + 1/6) = 2,164
Test istatistiği
t = (119,5 − 123)/2,164 = −1,618
Cevap
t = −1,618
df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 16,5 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 100 − 2,326·2 = 95,35
Gerçek ortalama altında z
z = (95,35 − 93,4)/2 = 0,974
II. tip hata
güç = P(Z < 0.974) = 83.5%
β = 100% − 83,5% = 16,5%
Cevap
β = 16,5%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9728
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 409/6 = 68,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1313
Belirlilik katsayısı
r² = 299²/(70·1313) = 0,9728
Cevap
r² = 0,9728
y’deki değişimin yaklaşık %97,28’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 2,281
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 83/6 = 13,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5
Regresyon doğrusu
b = −51,5/17,5 = −2,943
a = 13,83 − (−2,943)·3,5 = 24,13
ŷ = 24,13 − 2,943·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 24,13 + (−2,943)·1,5 = 19,72
Artık
e = 22 − 19,72 = 2,281
Cevap
e = 2,281
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1