İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 18, 30, 53, 27, 34, 49.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 52 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 8x = 52

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,5 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,5

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 171,35 ile 181,85 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 171,35x₂ = 181,85

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 87,5 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 84,5 h, bilinen standart sapma 8 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 87,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 84,5 hσ₂ = 8 h90%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 15 milin çaplarının örneklem standart sapması 11,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 14 ile χ² dağılımının %2,5’i 5,629 değerinin altında, %2,5’i 26,119 değerinin üstündedir.

n = 15s = 11,2 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 9 öğrenci, ortalama puan 54,5, standart sapma 6,5. Grup 2: 5 öğrenci, ortalama puan 50,5, standart sapma 4,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 9x̄₁ = 54,5s₁ = 6,5n₂ = 5x̄₂ = 50,5s₂ = 4,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 3 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 100,75’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 100,75σ = 3n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 55 tahmin eder?

n = 6ŷ = 55

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,21

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 233/7 = 33,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−11,29)² + (−15,29)² + (−3,286)² + 19,71² + (−6,286)² + 0,7143² + 15,71² = 1047

Standart sapma

s = √(1047/6) = 13,21

Cevap

s = 13,21

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Standartlaştırın

z = (52 − 60)/8 = −1

Cevap

z = −1

3.Olasılık

Cevap: σ = 0,8047

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varyans

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Cevap

σ = 0,8047

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1875

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Toplayın

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Cevap

P = 0,1875

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5378

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Aradaki alan

P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378

Cevap

P = 0,5378

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9515

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Cevap

P = 0,9515

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 0,793 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 87,5 − 84,5 = 3

Standart hata

SE = √(4²/80 + 8²/40) = 1,342

Hata payı

E = 1,645·1,342 = 2,207

Aralık

3 ± 2,207 → [0,793, 5,207]

Cevap

alt sınır = 0,793 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 8,2 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 14·11,2² = 1756

σ² için sınırlar

1756/26,119 = 67,24

1756/5,629 = 312

σ için sınır

σ = √67,24 = 8,2 µm

Cevap

σ = 8,2 µm

σ için %95 aralık: [8,2, 17,66] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,214

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (8·6,5² + 4·4,5²)/12 = 34,92

s_p = 5,909

Standart hata

SE = 5,909·√(1/9 + 1/5) = 3,296

Test istatistiği

t = (54,5 − 50,5)/3,296 = 1,214

Cevap

t = 1,214

df = 12 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,179; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 20,44 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 100 + 2,326·0,5 = 101,2

Gerçek ortalama altında z

z = (101,2 − 100,75)/0,5 = 0,826

Güç

güç = P(Z > 0,826) = 20,44%

1 − β = 20,44%

Cevap

1 − β = 20,44%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,8626

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 312/6 = 52

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 142

Korelasyon katsayısı

r = 43/√(17,5·142) = 0,8626

Cevap

r = 0,8626

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,421

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 306/6 = 51

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Regresyon doğrusu

b = 76/17,5 = 4,343

a = 51 − 4,343·3,5 = 35,8

ŷ = 35,8 + 4,343·x

x için çözün

x = (55 − 35,8)/4,343 = 4,421

Cevap

x = 4,421

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1