Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 42, 17, 21, 10, 60, 52, 49.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 40 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 70σ = 20x = 40
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 5p = 0,2k = 3
P =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,6879 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,6879
z =
6.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 75,5 h, bilinen standart sapma 13 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 84,5 h, bilinen standart sapma 17 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 75,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 30x̄₂ = 84,5 hσ₂ = 17 h90%
alt sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 30. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 30E = 195%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 32 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 125,2. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ > 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 120σ = 32n = 64x̄ = 125,2H₁: μ > μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 201. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 201σ = 4n = 4995%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 20) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(3,5, 20)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,57
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 251/7 = 35,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 6,143² + (−18,86)² + (−14,86)² + (−25,86)² + 24,14² + 16,14² + 13,14² = 2299
Standart sapma
s = √(2299/6) = 19,57
Cevap
s = 19,57
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −1,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (40 − 70)/20 = −1,5
Cevap
z = −1,5
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,248
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,55
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,65
Varyans
Var(X) = 3,65 − 1,55² = 1,248
Cevap
Var(X) = 1,248
4.Olasılık
Cevap: P = 0,0512
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 3) = 10·0,23·0,82 = 10·0,008·0,64 = 0,0512
Cevap
P = 0,0512
5.Normal dağılım
Cevap: z = −0,49
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,3121 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −0,49
Cevap
z = −0,49
6.Normal dağılım
Cevap: x = 187 cm
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
x’e geri dönüş
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Cevap
x = 186,97 cm
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −14,8 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 75,5 − 84,5 = −9
Standart hata
SE = √(13²/60 + 17²/30) = 3,528
Hata payı
E = 1,645·3,528 = 5,804
Aralık
−9 ± 5,804 → [−14,8, −3,196]
Cevap
alt sınır = −14,8 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 3458
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·30/1)² = 3457
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 3458
Cevap
n = 3458
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,0968
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (125,2 − 120)/4 = 1,3
Kuyruk alanı
Φ(1,3) = 0,9032
1 − Φ(1,3) = 0,0968
p-değeri
p = 0,0968
Cevap
p = 0,0968
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 202,1
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,96·4/√49 = 1,12
Aralık sınırı
U = 201 + 1,12 = 202,1
Cevap
U = 202,1
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9667
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 206/5 = 41,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 494,8
Korelasyon katsayısı
r = 136/√(40·494,8) = 0,9667
Cevap
r = 0,9667
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −2,3
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Regresyon doğrusu
b = −18/10 = −1,8
a = 23,2 − (−1,8)·3 = 28,6
ŷ = 28,6 − 1,8·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 28,6 + (−1,8)·3,5 = 22,3
Artık
e = 20 − 22,3 = −2,3
Cevap
e = −2,3
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1