İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 11, 60, 21, 56, 58.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 66 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 5x = 66

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,25Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 200,8 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,8 mm

P =

6.Normal dağılımZor

1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 142,5 h, bilinen standart sapma 18 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 127,5 h, bilinen standart sapma 19 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 142,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 19 h95%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 21 milin çaplarının örneklem standart sapması 9,4 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 20 ile χ² dağılımının %2,5’i 9,591 değerinin altında, %2,5’i 34,17 değerinin üstündedir.

n = 21s = 9,4 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 198,6, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 198,6s = 4n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 21. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 90%δ = 4σ = 21z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 63 tahmin eder?

n = 5ŷ = 63

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 20,89

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 250/6 = 41,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2,333² + (−30,67)² + 18,33² + (−20,67)² + 14,33² + 16,33² = 2181

Standart sapma

s = √(2181/5) = 20,89

Cevap

s = 20,89

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,8

Standartlaştırın

z = (66 − 70)/5 = −0,8

Cevap

z = −0,8

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,2

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,4

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,4

Varyans

Var(X) = 3,4 − 1,4² = 1,44

σ = √1,44 = 1,2

Cevap

σ = 1,2

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 0,5761

X’in yayılımı

μ = 2,35, Var(X) = 1,328, σ_X = 1,152

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·1,152 = 0,5761

Cevap

σ_Y = 0,5761

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·2,35 + 20 = 21,18.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,0548

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548

Cevap

P = 0,0548

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Farkın dağılımı

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/10 = −1

Olasılık

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 8,727 h

Bir fark için aralık: tahmin ± kritik değer × standart hata. σ’sı bilinen iki bağımsız ortalama için: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) ve z. Eşit ve bilinmeyen varyanslarda: birleştirilmiş s_p ve n₁ + n₂ − 2 serbestlik dereceli t. Eşleştirilmiş verilerde farklarla çalışın: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 127,5 = 15

Standart hata

SE = √(18²/30 + 19²/40) = 4,453

Hata payı

E = 1,96·4,453 = 8,727

Cevap

E = 8,727 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 7,192 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 20·9,4² = 1767

σ² için sınırlar

1767/34,17 = 51,72

1767/9,591 = 184,3

σ için sınır

σ = √51,72 = 7,192 µm

Cevap

σ = 7,192 µm

σ için %95 aralık: [7,192, 13,57] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Test istatistiği

t = (198,6 − 200)/1 = −1,4

Cevap

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 359

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 1,282)·21/4)² = 358,8

Yukarı yuvarlayın

n = 359

Cevap

n = 359

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9429

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 140/6 = 23,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 117,3

Belirlilik katsayısı

r² = −44²/(17,5·117,3) = 0,9429

Cevap

r² = 0,9429

y’deki değişimin yaklaşık %94,29’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 3,018

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 397/5 = 79,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

Regresyon doğrusu

b = 220/40 = 5,5

a = 79,4 − 5,5·6 = 46,4

ŷ = 46,4 + 5,5·x

x için çözün

x = (63 − 46,4)/5,5 = 3,018

Cevap

x = 3,018

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1