İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 60, 26, 29, 48, 18, 42.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 100 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 625'ün altındadır?

μ = 500σ = 100x = 625

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 4 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

4 / 5

P =

4.OlasılıkZor

11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,6

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,3745 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,3745

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %60 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan60%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 50 telefon, ortalama 90,5 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 83,5 h, bilinen standart sapma 10 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 90,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 83,5 hσ₂ = 10 h99%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 13E = 1,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 24 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 123,8. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ > 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 120σ = 24n = 144x̄ = 123,8H₁: μ > μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1,5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 1,5σ = 8z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 103Σx² = 55Σy² = 2155Σxy = 291

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 18,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,27

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 259/7 = 37

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 23² + (−11)² + (−8)² + 11² + (−19)² + 5² = 1222

Standart sapma

s = √(1222/6) = 14,27

Cevap

s = 14,27

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1667

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667

Cevap

P = 0,1667

4.Olasılık

Cevap: P = 0,000734

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,4¹¹ = 4,194 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 11·0,6·0,4¹⁰ = 0,0006921

Toplayın

P = 4,194 × 10⁻⁵ + 0,0006921 = 0,000734

Cevap

P = 0,000734

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,32

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,3745 = 0,6255

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,6255 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,32

Cevap

z = 0,32

6.Normal dağılım

Cevap: x = 62,5 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 puan

Cevap

x = 62,5 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −0,4124 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 83,5 = 7

Standart hata

SE = √(17²/50 + 10²/40) = 2,877

Hata payı

E = 2,576·2,877 = 7,412

Aralık

7 ± 7,412 → [−0,4124, 14,41]

Cevap

alt sınır = −0,4124 h

Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 204

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·13/1,5)² = 203,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 204

Cevap

n = 204

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,02872

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (123,8 − 120)/2 = 1,9

Kuyruk alanı

Φ(1,9) = 0,9713

1 − Φ(1,9) = 0,0287

p-değeri

p = 0,02872

Cevap

p = 0,02872

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 244

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·8/1,5)² = 243,7

Yukarı yuvarlayın

n = 244

Cevap

n = 244

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9879

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 291 − 15·103/5 = −18

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2155 − 103²/5 = 33,2

Korelasyon katsayısı

r = −18/√(10·33,2) = −0,9879

Cevap

r = −0,9879

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 86,12

Ortalamalar

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 706/6 = 117,7

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 828

Regresyon doğrusu

b = 828/157,5 = 5,257

a = 117,7 − 5,257·24,5 = −11,13

ŷ = −11,13 + 5,257·x

Tahmin

ŷ = −11,13 + 5,257·18,5 = 86,12

Cevap

ŷ = 86,12

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1