İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 45, 51, 50, 17, 46.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 106'ün altındadır?

μ = 100σ = 15x = 106

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 4

P =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 488 ile 574 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 574

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %5 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 95,5 h, bilinen standart sapma 6 h. Model 2: 100 telefon, ortalama 93 h, bilinen standart sapma 5 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 95,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 100x̄₂ = 93 hσ₂ = 5 h95%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 21 parsel, ortalama verim 21,5 kg, standart sapma 2 kg. Parsel grubu 2: 10 parsel, ortalama 15,5 kg, standart sapma 1 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 21x̄₁ = 21,5s₁ = 2n₂ = 10x̄₂ = 15,5s₂ = 199%t(29) = 2,756

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 10 öğrenci, ortalama puan 108, standart sapma 11. Grup 2: 16 öğrenci, ortalama puan 97,6, standart sapma 5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 108s₁ = 11n₂ = 16x̄₂ = 97,6s₂ = 5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 101,6’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 101,6σ = 5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 20Σy = 245Σx² = 90Σy² = 12067Σxy = 1003

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (20, 113) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(20, 113)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 231/6 = 38,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−16,5)² + 6,5² + 12,5² + 11,5² + (−21,5)² + 7,5² = 1122

Standart sapma

s = √(1122/5) = 14,98

Cevap

s = 14,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

3.Olasılık

Cevap: P = 0,3818

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Cevap

P = 0,3818

4.Olasılık

Cevap: P = 0,5767

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Toplayın

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Cevap

P = 0,5767

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5858

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Aradaki alan

P = Φ(1,85) − Φ(−0,3) = 0,9678 − 0,3821 = 0,5858

Cevap

P = 0,5858

6.Normal dağılım

Cevap: x = 566 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,95

Tablodan z

z ≈ 1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Cevap

x = 566 h

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 0,1398 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 95,5 − 93 = 2,5

Standart hata

SE = √(6²/30 + 5²/100) = 1,204

Hata payı

E = 1,96·1,204 = 2,36

Aralık

2,5 ± 2,36 → [0,1398, 4,86]

Cevap

alt sınır = 0,1398 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 7,855 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (20·2² + 9·1²)/29 = 3,069

s_p = 1,752

Hata payı

E = 2,756·1,752·√(1/21 + 1/10) = 1,855

Aralık

6 ± 1,855 → [4,145, 7,855]

Cevap

üst sınır = 7,855 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,303

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (9·11² + 15·5²)/24 = 61

s_p = 7,81

Standart hata

SE = 7,81·√(1/10 + 1/16) = 3,148

Test istatistiği

t = (108 − 97,6)/3,148 = 3,303

Cevap

t = 3,303

df = 24 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,064; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 62,48 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 100 + 1,282·1 = 101,3

Gerçek ortalama altında z

z = (101,3 − 101,6)/1 = −0,318

Güç

güç = P(Z > −0,318) = 62,48%

1 − β = 62,48%

Cevap

1 − β = 62,48%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9237

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1003 − 20·245/5 = 23

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 12067 − 245²/5 = 62

Korelasyon katsayısı

r = 23/√(10·62) = 0,9237

Cevap

r = 0,9237

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,65

Ortalamalar

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 549/5 = 109,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

Regresyon doğrusu

b = 274/40 = 6,85

a = 109,8 − 6,85·19 = −20,35

ŷ = −20,35 + 6,85·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −20,35 + 6,85·20 = 116,6

Artık

e = 113 − 116,6 = −3,65

Cevap

e = −3,65

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1