İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 12, 51, 32, 10, 31, 27.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 531,3'ün altındadır?

μ = 500σ = 25x = 531,3

P =

3.OlasılıkOrta

13 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 13k = 2

N =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,15 olasılıkla €4, 0,01 olasılıkla €40 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €2€4: p = 0,15€40: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 167,85 ile 183,95 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,85x₂ = 183,95

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 101,5 ve standart sapması s = 12,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 7x̄ = 101,5s = 12,595%t(6) = 2,447

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,7 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,7E = 0,0399%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

12 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 10,1 ve farkların standart sapması 10,6. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 12d̄ = 10,1s_d = 10,6

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 24 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 57,5’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 57,5σ = 24n = 64α = 0,10

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 43) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(2,5, 43)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,04

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 163/6 = 27,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−15,17)² + 23,83² + 4,833² + (−17,17)² + 3,833² + (−0,1667)² = 1131

Standart sapma

s = √(1131/5) = 15,04

Cevap

s = 15,04

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: N = 78

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Cevap

N = 78

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −1 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 2 (p = 0,15), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Beklenen değer

E(G) = 2·0,15 + 38·0,01 − 2·0,84 = −1 €

Cevap

E(G) = −1 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7288

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(−1,45) = 0,8023 − 0,07353 = 0,7288

Cevap

P = 0,7288

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9515

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Cevap

P = 0,9515

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 113,1

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·12,5/√7 = 11,56

Aralık

101,5 ± 11,56 → [89,94, 113,1]

Cevap

üst sınır = 113,1

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,7·0,3/0,03² = 1548

Yukarı yuvarlayın

n = 1549

Cevap

n = 1549

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,301

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 10,6/√12 = 3,06

Test istatistiği

t = 10,1/3,06 = 3,301

Cevap

t = 3,301

df = 11 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,201; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 11,16 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 50 + 1,282·3 = 53,85

Gerçek ortalama altında z

z = (53,85 − 57,5)/3 = −1,218

II. tip hata

güç = P(Z > −1,218) = 88,84%

β = 100% − 88,84% = 11,16%

Cevap

β = 11,16%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9815

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 380/5 = 76

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1080

Korelasyon katsayısı

r = 204/√(40·1080) = 0,9815

Cevap

r = 0,9815

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,5

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 212/5 = 42,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Regresyon doğrusu

b = 38/10 = 3,8

a = 42,4 − 3,8·3 = 31

ŷ = 31 + 3,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 31 + 3,8·2,5 = 40,5

Artık

e = 43 − 40,5 = 2,5

Cevap

e = 2,5

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1