İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 49, 57, 11, 17, 57.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 177,5'ün üstündedir?

μ = 170σ = 5x = 177,5

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 5

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35Y = 2X + 4

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 171 ile 185,35 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 185,35

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 40 telefon, ortalama 147,5 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 155,5 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 147,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 155,5 hσ₂ = 4 h90%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 200,7, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 200,7s = 5n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 121,1. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 121,1σ = 8n = 6490%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 74 tahmin eder?

n = 6ŷ = 74

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 21,54

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 210/6 = 35

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 14² + 22² + (−24)² + (−18)² + 22² = 2320

Standart sapma

s = √(2320/5) = 21,54

Cevap

s = 21,54

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: P = 0,3182

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Cevap

P = 0,3182

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 25,69

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 25, Var(X) = 165, σ_X = 12,85

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·12,85 = 25,69

Cevap

σ_Y = 25,69

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·25 + 4 = 54.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6945

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

Aradaki alan

P = Φ(1,05) − Φ(−1) = 0,8531 − 0,1587 = 0,6945

Cevap

P = 0,6945

6.Normal dağılım

Cevap: x = 551,3 h

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Cevap

x = 551,26 h

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −6,411 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 147,5 − 155,5 = −8

Standart hata

SE = √(4²/40 + 4²/30) = 0,9661

Hata payı

E = 1,645·0,9661 = 1,589

Aralık

−8 ± 1,589 → [−9,589, −6,411]

Cevap

üst sınır = −6,411 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Yukarı yuvarlayın

n = 752

Cevap

n = 752

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Test istatistiği

t = (200,7 − 200)/1 = 0,7

Cevap

t = 0,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 119,5

Hata payı

E = 1,645·8/√64 = 1,645

Aralık sınırı

L = 121,1 − 1,645 = 119,5

Cevap

L = 119,5

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9642

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 401/6 = 66,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1489

Belirlilik katsayısı

r² = 317²/(70·1489) = 0,9642

Cevap

r² = 0,9642

y’deki değişimin yaklaşık %96,42’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 7,426

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 374/6 = 62,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Regresyon doğrusu

b = 106/17,5 = 6,057

a = 62,33 − 6,057·5,5 = 29,02

ŷ = 29,02 + 6,057·x

x için çözün

x = (74 − 29,02)/6,057 = 7,426

Cevap

x = 7,426

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1