İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 50, 15, 48, 37, 41.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 78 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 8x = 78

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,3, 0,05

σ =

4.OlasılıkZor

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0197 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0197

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 114 ve standart sapması s = 18,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 13x̄ = 114s = 18,590%t(12) = 1,782

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 26. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 26E = 0,595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 495,5, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 495,5s = 10n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 6. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 80%δ = 1σ = 6z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 100Σy = 538Σx² = 2090Σy² = 60964Σxy = 11282

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (1,5, 21) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(1,5, 21)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,99

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 191/5 = 38,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 11,8² + (−23,2)² + 9,8² + (−1,2)² + 2,8² = 782,8

Standart sapma

s = √(782,8/4) = 13,99

Cevap

s = 13,99

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1

Standartlaştırın

z = (78 − 70)/8 = 1

Cevap

z = 1

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,319

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,05 = 4,3

Varyans

Var(X) = 4,3 − 1,6² = 1,74

σ = √1,74 = 1,319

Cevap

σ = 1,319

4.Olasılık

Cevap: P = 0,6554

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Toplayın

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,06

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0197 = 0,9803

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9803 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,06

Cevap

z = 2,06

6.Normal dağılım

Cevap: x = 243,6 g

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Cevap

x = 243,59 g

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 104,9

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Hata payı

E = 1,782·18,5/√13 = 9,143

Aralık

114 ± 9,143 → [104,9, 123,1]

Cevap

alt sınır = 104,9

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 10388

n'yi çözün

n = (1,96·26/0,5)² = 10388

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 10388

Cevap

n = 10388

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Test istatistiği

t = (495,5 − 500)/2,5 = −1,8

Cevap

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 362

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 0,842)·6/1)² = 361,3

Yukarı yuvarlayın

n = 362

Cevap

n = 362

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9922

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 11282 − 100·538/5 = 522

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 60964 − 538²/5 = 3075

Korelasyon katsayısı

r = 522/√(90·3075) = 0,9922

Cevap

r = 0,9922

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,7

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Regresyon doğrusu

b = −30/10 = −3

a = 20,2 − (−3)·3 = 29,2

ŷ = 29,2 − 3·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 29,2 + (−3)·1,5 = 24,7

Artık

e = 21 − 24,7 = −3,7

Cevap

e = −3,7

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1