İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 25, 10, 55, 52, 27.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 112,5'ün altındadır?

μ = 100σ = 10x = 112,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,1, 0,35, 0,15, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,4313 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,4313

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 8,3. Aynı verilerden elde edilen %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 25E₁ = 8,390%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 34. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 34E = 195%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 72,2, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 72,2s = 20n = 100

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 15E = 299%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 25,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 25,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 19,18

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 169/5 = 33,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + (−23,8)² + 21,2² + 18,2² + (−6,8)² = 1471

Standart sapma

s = √(1471/4) = 19,18

Cevap

s = 19,18

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,647

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,1 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,45

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,65

Varyans

Var(X) = 7,65 − 2,45² = 1,647

Cevap

Var(X) = 1,647

4.Olasılık

Cevap: P = 0,8503

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁷ = 0,4783

P(X = 1) = 7·0,1·0,9⁶ = 0,372

Toplayın

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Cevap

P = 0,8503

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,57

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,4313)/2 = 0,7157

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7157 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,57

Cevap

z = 0,57

6.Normal dağılım

Cevap: x = 172,1 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Cevap

x = 172,11 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 6,966

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/25) = 0,8393

Yeni hata payı

E₂ = 8,3·0,8393 = 6,966

Cevap

E₂ = 6,966

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 4441

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·34/1)² = 4441

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 4441

Cevap

n = 4441

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Test istatistiği

t = (72,2 − 75)/2 = −1,4

Cevap

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 374

n'yi çözün

n = (2,576·15/2)² = 373,3

Yukarı yuvarlayın

n = 374

Cevap

n = 374

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9684

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 267/5 = 53,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 371,2

Korelasyon katsayısı

r = 118/√(40·371,2) = 0,9684

Cevap

r = 0,9684

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 61,45

Ortalamalar

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 233/5 = 46,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297

Regresyon doğrusu

b = 297/90 = 3,3

a = 46,6 − 3,3·21 = −22,7

ŷ = −22,7 + 3,3·x

Tahmin

ŷ = −22,7 + 3,3·25,5 = 61,45

Cevap

ŷ = 61,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1