İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 17, 17, 48, 33, 37, 39.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 20 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 20x = 20

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,05, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,8882 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8882

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

6 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 5,4 ve standart sapması 1,8. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6d̄ = 5,4s_d = 1,899%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 14E = 195%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 120,4, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 120,4s = 4n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 20 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 104,25’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 104,25σ = 20n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 364Σx² = 220Σy² = 27494Σxy = 2380

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (8, 80) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(8, 80)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,5

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 191/6 = 31,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−14,83)² + (−14,83)² + 16,17² + 1,167² + 5,167² + 7,167² = 780,8

Standart sapma

s = √(780,8/5) = 12,5

Cevap

s = 12,5

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (20 − 50)/20 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,748

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,05 + 5·0,25 = 3,05

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,05 + 25·0,25 = 11,05

Varyans

Var(X) = 11,05 − 3,05² = 1,748

Cevap

Var(X) = 1,748

4.Olasılık

Cevap: P = 0,9185

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁵ = 0,5905

P(X = 1) = 5·0,1·0,9⁴ = 0,3281

Toplayın

P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185

Cevap

P = 0,9185

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,59

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,8882)/2 = 0,9441

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9441 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,59

Cevap

z = 1,59

6.Normal dağılım

Cevap: x = 39,69 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Cevap

x = 39,69 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 2,963 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 5, t = 4,032

Hata payı

E = 4,032·1,8/√6 = 2,963

Cevap

E = 2,963 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 753

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·14/1)² = 753

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 753

Cevap

n = 753

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Test istatistiği

t = (120,4 − 120)/0,5714 = 0,7

Cevap

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 66,2 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 100 + 1,282·2,5 = 103,2

Gerçek ortalama altında z

z = (103,2 − 104,25)/2,5 = −0,418

Güç

güç = P(Z > −0,418) = 66,2%

1 − β = 66,2%

Cevap

1 − β = 66,2%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9826

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 2380 − 30·364/5 = 196

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 27494 − 364²/5 = 994,8

Korelasyon katsayısı

r = 196/√(40·994,8) = 0,9826

Cevap

r = 0,9826

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,95

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 364/5 = 72,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Regresyon doğrusu

b = 210/40 = 5,25

a = 72,8 − 5,25·7 = 36,05

ŷ = 36,05 + 5,25·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 36,05 + 5,25·8 = 78,05

Artık

e = 80 − 78,05 = 1,95

Cevap

e = 1,95

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1