Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 37, 38, 21, 19, 14, 37.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 120 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 10x = 120
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15
Var(X) =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 2X − 3
σY =
5.Normal dağılımOrta
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 500 ile 520 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 520
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 73 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 20x̄ = 73s = 290%t(19) = 1,729
E =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 25. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 25E = 295%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 248,18. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ ≠ 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 248,18H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 23. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,01güç = 80%δ = 4σ = 23zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 38) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(2,5, 38)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 10,84
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 166/6 = 27,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 9,333² + 10,33² + (−6,667)² + (−8,667)² + (−13,67)² + 9,333² = 587,3
Standart sapma
s = √(587,3/5) = 10,84
Cevap
s = 10,84
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (120 − 100)/10 = 2
Cevap
z = 2
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,09
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,15 = 1,1
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,15 = 2,3
Varyans
Var(X) = 2,3 − 1,1² = 1,09
Cevap
Var(X) = 1,09
4.Olasılık
Cevap: σY = 2,234
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,55, Var(X) = 1,248, σX = 1,117
Doğrusal değişim
σY = |2|·1,117 = 2,234
Cevap
σY = 2,234
Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·1,55 − 3 = 0,1.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,1915
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5
Aradaki alan
P = Φ(0,5) − Φ(0) = 0,6915 − 0,5 = 0,1915
Cevap
P = 0,1915
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9706
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Cevap
P = 0,9706
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 0,7732
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Hata payı
E = 1,729·2/√20 = 0,7732
Cevap
E = 0,7732
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 601
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·25/2)² = 600,3
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 601
Cevap
n = 601
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,06876
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (248,18 − 250)/1 = −1,82
Kuyruk alanı
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
p-değeri
p = 2·0,0344 = 0,06876
Cevap
p = 0,06876
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 332
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((2,326 + 0,842)·23/4)² = 331,8
Yukarı yuvarlayın
n = 332
Cevap
n = 332
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9746
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 74,8
Belirlilik katsayısı
r² = −27²/(10·74,8) = 0,9746
Cevap
r² = 0,9746
y’deki değişimin yaklaşık %97,46’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,324
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 280/6 = 46,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Regresyon doğrusu
b = 38/17,5 = 2,171
a = 46,67 − 2,171·4,5 = 36,9
ŷ = 36,9 + 2,171·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 36,9 + 2,171·2,5 = 42,32
Artık
e = 38 − 42,32 = −4,324
Cevap
e = −4,324
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1