Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9767 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 1,5. Aynı çalışma bunun yerine 144 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
İşlenmiş 16 milin çaplarının örneklem standart sapması 10,1 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 15 ile χ² dağılımının %2,5’i 6,262 değerinin altında, %2,5’i 27,488 değerinin üstündedir.
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 98,07, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 5. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 82 tahmin eder?
Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.
3 satır ve 5 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?
Cevap: z = −1,99
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Tablonun içinde 0,0233 değerini bulun ve z’yi okuyun.
Cevap: P = 0,983
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Cevap: E₂ = 0,75
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Cevap: σ = 7,461 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
σ için %95 aralık: [7,461, 15,63] µm.
Cevap: t = −0,9007
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
Cevap: n = 27
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Cevap: r = 0,988
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Cevap: x = 5,448
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Cevap: χ² = 8,778
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
sd = 2. α = 0,05’te kritik değer 5,991, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilir.
Cevap: df = 8
Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference