Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m0,5 m3,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 5 mP1 = 20 kN @ 1 mP2 = 15 kN @ 1,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​2,5 m0,5 m3 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mP = 45 kN @ 2,5 mw = 8 kN/m, 3 ile 6 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
M0​ = 25 kN·mAB1,5 m2,5 m

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 1,5 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 25 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mM0 = 25 kN·m saat yönünde, konumu 1,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mAB4 m2 m4 m

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 10 mw = 8 kN/m, 4 ile 6 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH10 kN15 kN15 kN25 kN4 × 4 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB35 kN20 kN5 m2 m3 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 35 kNyatay yük = 20 kN ←
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 28 kNABδ2 m3 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 28 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 80 kNAB2 m2 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki RB değerini bulun.

L = 4 mP = 80 kN @ 2 m
RB = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 95 kNL = 3 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 26,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·5 = 20·1 + 15·1,5
RB = 42,5/5 = 8,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 8,5 = 26,5 kN

Cevap

RA = 26,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 32,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 8 kN/mP = 45 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m3 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, x̄ = 4,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2,5 + 8·3·4,5
RB = 220,5/6 = 36,75 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 36,75 = 32,25 kN

Cevap

RA = 32,25 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 15,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/4 = 6,25 kN (yukarı)
RA = −RB = −6,25 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık RA’yı ve kuvvet çiftini içerir.

Mx = RA·a + M0 = −6,25·1,5 + 25 = 15,63 kN·m

Cevap

Mx = 15,63 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 8·2·5
RB = 80/10 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 8/8 = 5 m

En büyük moment

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 8·5 − 8·1²/2 = 36 kN·m

Cevap

Mmax = 36 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 43,33 kN (T), BC: 53,33 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 43,33 kN (C), GH: 43,33 kN (C), AF: 54,17 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −2,828 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 − 20·3 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 2 = 33 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2/0,7071 = −2,828 kN

Cevap

FBC = −2,828 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 21,67 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 28000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 6,667 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,005 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21,67 mm

Cevap

δB = 21,67 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: RB = 25 kN

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Cevap

RB = 25 kN
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 23,55 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Cevap

Pcr = 23,55 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 119,2 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 119,2 mm

Cevap

d = 119,2 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 201,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis