Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 70 kNP2​ = 55 kNABCRB​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 70 kN @ 1,5 mP2 = 55 kN @ 5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 25 kN, 40°Q = 65 kNABα = ?1,5 m2,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4 m uzaklıkta yatayla 40° açı yapan bir P yükü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.

L = 5 mP = 25 kN @ 4 m, θ = 40°Q = 65 kN @ 1,5 m
α = °
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
4 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 8 m4 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 3 kN/mP = 15 kNABkesit9 m1 m

A mesnedinden x = 9 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 15 kN @ 9 mw = 3 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 9 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB20 kN4 m1 m3 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 20 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB40 kN15 kN6 m1 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 15 kN ←
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 15 kNABδ2 m1 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 15 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 5 kN/mδL = 3 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m25 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 140 kNL = 2,5 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 140 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 140 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 95 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1,5 + 55·5
RB = 380/4 = 95 kN

Düşey denge

RA = 70 + 55 − 95 = 30 kN

Cevap

RB = 95 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: α = 68,54 °

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 25·sin 40° = 16,07 kN
Ph = 25·cos 40° = 19,15 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·5 = 16,07·4 + 65·1,5 → RB = 32,36 kN
Ay = 16,07 + 65 − 32,36 = 48,71 kN
Ax = Ph = 19,15 kN

A’daki yön

α = atan(Ay/Ax) = atan(48,71/19,15) = 68,54°

Cevap

α = 68,54°
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 29 kN, R2 = 40 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 58, MC = 108, MD = 142, ME = 160 kN·m, MF = 80, MG = 0

Cevap

İşaret E: ME = 160 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 27 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 15·9 + 3·10·5
RB = 285/10 = 28,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28,5 = 16,5 kN
w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​ = 16,5RB​ = 28,5kesit9 m1 m

x = 9 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 16,5·9 − 3·9·4,5 = 27 kN·m

Cevap

Mx = 27 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −7,071 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,7071 = −7,071 kN

Cevap

FBC = −7,071 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −4,488 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·1 − 15·2 → Cy = 1,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 1,667 = 38,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,667/0,3714 = −4,488 kN

Cevap

FBC = −4,488 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 11,2 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 15000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2000²·1000²/(3·5,95 × 10¹¹·3000) = 11,2 mm

Cevap

δP = 11,2 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 4,406 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3500² = 4406 N = 4,406 kN

Cevap

Pcr = 4,406 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 119,9 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 119,9 mm

Cevap

d = 119,9 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 166,9, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis