Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 10 kNM = 30 kN·mABRA​ = ?4 m1 m3 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 4 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 8 mP = 10 kN @ 5 mM = 30 kN·m (saat yönünün tersine) @ 4 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?2 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 4 mP = 20 kN @ 2 mw = 10 kN/m, 0 ile 4 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 5 kN/mP = 10 kNAB2,5 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti MA değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2,5 mP = 10 kN @ 2,5 mw = 5 kN/m, 0 ile 2,5 m arasında
MA = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 12 kN/mABC6 m1 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 7 mw = 12 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH25 kN30 kN30 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓C: 30 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB50 kN15 kN6 m1 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 15 kN ←
FAC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 5 kN/mP = 5 kNABδ2,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 5 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 20 kN/mP = 25 kNδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 25 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m20 × 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 45 kNL = 6 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 7,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·8 − 10·5 + 30 = 0
RB = 20/8 = 2,5 kN

Düşey denge

RA = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Cevap

RA = 7,5 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 30 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​2 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 10·4·2
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN

Cevap

RB = 30 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MA = −40,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −10·2,5 = −25 kN·m
w: −5·2,5²/2 = −15,63 kN·m
MA = −25 − 15,63 = −40,63 kN·m

Cevap

MA = −40,63 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 51,04 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 12·7·3,5
RB = 294/6 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49 = 35 kN

Sıfır kesme kuvveti

RA − w·x0 = 0 → x0 = 35/12 = 2,917 m

En büyük pozitif moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 35²/(2·12) = 51,04 kN·m

Cevap

Mmax = 51,04 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 36,56 kN (T), BC: 36,56 kN (T), CD: 27,19 kN (T), DE: 27,19 kN (T), FG: 54,38 kN (C), GH: 54,38 kN (C), AF: 60,94 kN (C), HE: 45,31 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 29,69 kN (T), HC: 45,31 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = −2,083 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 − 15·4 → Cy = −1,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − −1,667 = 51,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1,667/0,6247 = 2,668 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(2,668)·0,7809 = −2,083 kN

Cevap

FAC = −2,083 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 8,581 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 5000·2500³/(3·5,88 × 10¹²) = 4,429 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 4,152 mm

Toplayın

δ = 4,429 + 4,152 = 8,581 mm

Cevap

δ = 8,581 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 9,921 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 25000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 25000·2000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 4,96 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 4,96 mm

Toplayın

δmax = 4,96 + 4,96 = 9,921 mm

Cevap

δmax = 9,921 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 4,297 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3500² = 4297 N = 4,297 kN

Cevap

Pcr = 4,297 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 87,46 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 87,46 mm

Cevap

d = 87,46 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 192,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis