Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w0​ = 15 kN/mABRB​ = ?6 m

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 15 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mw0 = 15 kN/m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 3 kN/mP = 20 kNQ = 65 kNADCRD​ = ?4 m1 m1 m4 m

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 5 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 10 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 6 m uzaklıkta bir P tekil yükü, tüm CD kısmında düzgün yayılı w yükü ve A’dan 4 m uzaklıkta bir Q tekil yükü. Kayıcı mesnetteki tepki RD değerini bulun.

AC = 5 mAD = 10 mP = 20 kN @ 6 mw = 3 kN/m, 5 ile 10 m arasındaQ = 65 kN @ 4 m
RD = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABC2 m4 m1,5 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. P1 yükünün altındaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7,5 mP1 = 50 kN @ 2 mP2 = 60 kN @ 7,5 mmesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 6 kN/mP = 10 kNAB1,5 m2,5 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 4 mP = 10 kN @ 1,5 mw = 6 kN/m, 0 ile 4 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB45 kN4 m3 m4 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 45 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH30 kN20 kN10 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 5 kN/mABθ6 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θA değerini radyan cinsinden bulun.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Kiriş sehimiZor
P = 7 kNABδ4,5 m1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δmax değerini bulun.

P = 7 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1 m40 × 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 125 kNL = 3 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 125 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 125 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 15 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·2
RB = 15 kN
RA = 45 − 15 = 30 kN

Cevap

RB = 15 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RD = 11,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

W = 3·5 = 15 kN @ 2,5 m referans: C
ΣMC = 0: RD·5 = 20·1 + 15·2,5
RD = 11,5 kN
VC = 35 − 11,5 = 23,5 kN

Cevap

RD = 11,5 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 36,67 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 60·7,5
RB = 550/6 = 91,67 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 91,67 = 18,33 kN

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Mx = RA·2 = 18,33·2 = 36,67 kN·m

Cevap

Mx = 36,67 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 20,63 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1,5 + 6·4·2
RB = 63/4 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 15,75 = 18,25 kN

V = 0 nerede?

V(1,5⁻) = RA − w·1,5 = 9,25 kN
V(1,5⁺) = 9,25 − 10 = −0,75 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·1,5 − w·1,5²/2 = 18,25·1,5 − 6·1,5²/2 = 20,63 kN·m

Cevap

Mmax = 20,63 kN·m

A’dan x = 1,5 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −34,79 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 33,75 = 11,25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,75/0,9701 = −34,79 kN

Cevap

FBC = −34,79 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 9,375 kN (T), BC: 13,75 kN (T), CD: 13,75 kN (T), DE: 18,12 kN (T), FG: 19,38 kN (C), GH: 28,12 kN (C), AF: 32,29 kN (C), HE: 30,21 kN (C), BF: 5,833 kN (T), CG: 0, DH: 24,17 kN (T), BG: 7,292 kN (C), DG: 7,292 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: θA = 0,01875 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θA = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·2,4 × 10¹²) = 0,01875 rad

Cevap

θA = 0,01875 rad

Bu, 1,074° eder.

8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 4,785 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

En büyük sehim

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 4,785 mm

Cevap

δmax = 4,785 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 131,6 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131,6 kN

Cevap

Pcr = 131,6 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 127,6 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 127,6 mm

Cevap

d = 127,6 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 188, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis