Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 10 kN @ 5 mP₂ = 45 kN @ 9 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 3 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 8 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 6 m uzaklıkta bir P tekil yükü, tüm CD kısmında düzgün yayılı w yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

AC = 3 mAD = 8 mP = 45 kN @ 6 mw = 10 kN/m, 3 ile 8 m arasında

M_A = kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. B mesnedindeki eğilme momenti M_B değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP₁ = 60 kN @ 6 mP₂ = 25 kN @ 10 mmesnetler x = 0 ve x = 8 m konumlarında

M_B = kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 25 kN @ 3,5 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3,5 m

M_x = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 30 kN

F_AB = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 10 kN →

F_AC = kN

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 9,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5 + 45·9

R_B = 455/10 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 45,5 = 9,5 kN

Cevap

R_A = 9,5 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 129 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

W = 10·5 = 50 kN @ 2,5 m referans: C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 45·3 + 50·2,5

R_D = 52 kN

V_C = 95 − 52 = 43 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti V_C, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

R_A = 43 = 43 kN

M_A = 43·3 = 129 kN·m

Cevap

M_A = 129 kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_B = −50 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·6 + 25·10

R_B = 610/8 = 76,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 76,25 = 8,75 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmaya yalnızca P₂ etkir, moment kolu a’dır. Kirişi mesnet üzerinde yukarı doğru eğer (negatif moment).

M_B = −P₂·a = −25·2 = −50 kN·m

Cevap

M_B = −50 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 31,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 22,5 = 12,5 kN

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 12,5·3,5 − 2·3,5·1,75 = 31,5 kN·m

Cevap

M_x = 31,5 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −25,3 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 6 = 24 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −24/0,9487 = −25,3 kN

Cevap

F_AB = −25,3 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 21,88 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·3 + 10·3 → C_y = 13,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 13,13 = 11,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,13/0,5145 = −25,51 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,51)·0,8575 = 21,88 kN

Cevap

F_AC = 21,88 kN (çekme)

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 16,82 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 16,82 mm

Cevap

δ_max = 16,82 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 137,8 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,727 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,727 × 10⁷/125)^1/3 = 137,8 mm

Cevap

h_req = 137,8 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 11,07 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11,07 kN

Cevap

P_cr = 11,07 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 47,18 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 47,18 mm

Cevap

d = 47,18 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 169,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis