Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_B değerini bulun.

L = 4 mP = 50 kN @ 0,5 mM = 60 kN·m (saat yönünde) @ 3 m

R_B = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 6 mP = 10 kN @ 1 mw = 10 kN/m, 2 ile 4 m arasında

R_A = kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 2,5 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 30 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mM₀ = 30 kN·m saat yönünde, konumu 2,5 m

M_x = kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mw = 6 kN/m, 7 ile 10 m arasında

M_max = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

H: 30 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 35 kNyatay yük = 30 kN →

F_AB = kN

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θ_A değerini radyan cinsinden bulun.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Kiriş sehimiZor

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm

h_req = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 135 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 135 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)

d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 21,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 50·0,5 − 60 = 0

R_B = 85/4 = 21,25 kN

Düşey denge

R_A = 50 − 21,25 = 28,75 kN

Cevap

R_B = 21,25 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 18,33 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 10·2·3

R_B = 70/6 = 11,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11,67 = 18,33 kN

Cevap

R_A = 18,33 kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 11,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/4 = 7,5 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −7,5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık R_A’yı ve kuvvet çiftini içerir.

M_x = R_A·a + M₀ = −7,5·2,5 + 30 = 11,25 kN·m

Cevap

M_x = 11,25 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 19,51 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, x̄ = 8,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·3·8,5

R_B = 153/10 = 15,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 15,3 = 2,7 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 7) = 0

x₀ = 7 + 2,7/6 = 7,45 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 7)²/2 = 2,7·7,45 − 6·0,45²/2 = 19,51 kN·m

Cevap

M_max = 19,51 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 5,625 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 11,25 kN (T), DE: 16,87 kN (T), FG: 5,625 kN (C), GH: 16,87 kN (C), AF: 9,375 kN (C), HE: 28,12 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (C), BG: 9,375 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −3,953 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 + 30·2 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33,75 = 1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/6,325 = 0,3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1,25/0,3162 = −3,953 kN

Cevap

F_AB = −3,953 kN (basınç)

7.Kiriş sehimi

Cevap: θ_A = 0,025 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θ_A = wL³/(24EI) = 20·6000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,025 rad

Cevap

θ_A = 0,025 rad

Bu, 1,432° eder.

8.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 220 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·1,11 × 10⁸/125)^1/3 = 220 mm

Cevap

h_req = 220 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 35,98 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1000² = 35983 N = 35,98 kN

Cevap

P_cr = 35,98 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 75,12 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,12 mm

Cevap

d = 75,12 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 106,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis