Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w0​ = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?3,5 m2,5 m

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 12 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. A’dan 3,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 30 kN @ 3,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 8 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?2 m2 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 8 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 2 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw0 = 8 kN/mP = 45 kN @ 2 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 4 kN/mP = 40 kNABkesit0,5 m1,5 m2 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti Mx değerini A ankastre mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 40 kN @ 2 mw = 4 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mP = 45 kNAB2,5 m2,5 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 5 mP = 45 kN @ 2,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 5 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB55 kN6 m1 m3 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 55 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH35 kN30 kN15 kN20 kN10 kN4 × 4 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
P = 15 kNABδ0,5 m2,5 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 0,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 15 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 20 kN/mδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 20 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 40 kNL = 2 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 40 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 40 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 36,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 36·2 + 30·3,5
RB = 29,5 kN
RA = 66 − 29,5 = 36,5 kN

Cevap

RA = 36,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 111,3 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 16·1,333 + 45·2 = 111,3 kN·m

Cevap

MA = 111,3 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −84,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −40·1,5 = −60 kN·m
w: −4·3,5²/2 = −24,5 kN·m
Mx = −60 − 24,5 = −84,5 kN·m

Cevap

Mx = −84,5 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 68,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2,5 + 4·5·2,5
RB = 162,5/5 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32,5 = 32,5 kN

V = 0 nerede?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 22,5 kN
V(2,5⁺) = 22,5 − 45 = −22,5 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 32,5·2,5 − 4·2,5²/2 = 68,75 kN·m

Cevap

Mmax = 68,75 kN·m

A’dan x = 2,5 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 15,28 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·1 → Cy = 9,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 9,167 = 45,83 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9,167/0,5145 = −17,82 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−17,82)·0,8575 = 15,28 kN

Cevap

FAC = 15,28 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 64,17 kN (T), BC: 64,17 kN (T), CD: 59,17 kN (T), DE: 59,17 kN (T), FG: 101,7 kN (C), GH: 101,7 kN (C), AF: 92,71 kN (C), HE: 73,96 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 34,38 kN (T), HC: 40,63 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 56,82 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 15000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 6,684 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,02005 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 56,82 mm

Cevap

δB = 56,82 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 101,3 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·6000⁴/(384·200000·16,67) = 1,012 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 101,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 101,3 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 3,515 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3,515 kN

Cevap

Pcr = 3,515 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 58,6 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 58,6 mm

Cevap

d = 58,6 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 136,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis