Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 2 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?3 m0,5 m2,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 3,5 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 6 mP = 30 kN @ 3 mw = 2 kN/m, 0 ile 3,5 m arasında
MA = kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 55 kNADCRD​ = ?2 m3,5 m0,5 m

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 2 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 6 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 5,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü. Kayıcı mesnetteki tepki RD değerini bulun.

AC = 2 mAD = 6 mP = 55 kN @ 5,5 m
RD = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 8 kN/mABkesit2,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 8 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
4 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 12 m4 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB10 kN6 m1 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 10 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB30 kN25 kN4 m1 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 30 kNyatay yük = 25 kN →
FAC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 10 kN/mP = 21 kNABδ1,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 21 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 10 kN/mP = 3 kNδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 md = 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 3 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 102,3 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = 1,75 m

Duvara göre moment

MA = P·a + W·x̄ = 30·3 + 7·1,75 = 102,3 kN·m

Cevap

MA = 102,3 kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RD = 48,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

ΣMC = 0: RD·4 = 55·3,5
RD = 48,13 kN
VC = 55 − 48,13 = 6,875 kN

Cevap

RD = 48,13 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 15 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16kesit2,5 m1,5 m

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 16·2,5 − 8·2,5·1,25 = 15 kN·m

Cevap

Mx = 15 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 10 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 8 kN, R2 = 92 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 8, MC = 0, MD = −24, ME = −64, MF = −120 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −120 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −4,488 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 → Cy = 1,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 1,667 = 8,333 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,667/0,3714 = −4,488 kN

Cevap

FBC = −4,488 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 24,38 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB30 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 25·4 → Cy = 32,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 32,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32,5/0,8 = −40,63 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40,63)·0,6 = 24,38 kN

Cevap

FAC = 24,38 kN (çekme)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,674 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 21000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 21000·1500³/(3·1,12 × 10¹³) = 2,109 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 0,565 mm

Toplayın

δ = 2,109 + 0,565 = 2,674 mm

Cevap

δ = 2,674 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 16,27 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 3000·6000³/(48·1,12 × 10¹³) = 1,205 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 15,07 mm

Toplayın

δmax = 1,205 + 15,07 = 16,27 mm

Cevap

δmax = 16,27 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 37,85 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37,85 kN

Cevap

Pcr = 37,85 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 7,676 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Cevap

σcr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis