Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?3,5 m0,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 3,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki düşey tepki RA değerini bulun.

L = 4 mP = 15 kN @ 3,5 mw = 8 kN/m, 0 ile 4 m arasında
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​5 m1 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 8 mP = 50 kN @ 5 mw = 8 kN/m, 0 ile 6 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 12 kN/mP = 45 kNAB2 m2 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti MA değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 45 kN @ 2 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasında
MA = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 5 kN/mP = 30 kNABkesit1 m5 m

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 30 kN @ 1 mw = 5 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 1 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB50 kN5 m3 m3 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 50 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH15 kN35 kN15 kN25 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 25 kN →
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mP = 9 kNABδ2,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 9 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mAB5 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki RB değerini bulun.

L = 5 mw = 8 kN/m
RB = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 3 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 47 kN

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Düşey denge

RA = P + W = 15 + 32 = 47 kN

Cevap

RA = 47 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 48,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​RB​5 m1 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 8·6·3
RB = 394/8 = 49,25 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 49,25 = 48,75 kN

Cevap

RA = 48,75 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MA = −186 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −45·2 = −90 kN·m
w: −12·4²/2 = −96 kN·m
MA = −90 − 96 = −186 kN·m

Cevap

MA = −186 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 37,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 30·1 + 5·6·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 20 = 40 kN
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​ = 40RB​ = 20kesit1 m5 m

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 40·1 − 5·1·0,5 = 37,5 kN·m

Cevap

Mx = 37,5 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −36,06 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,8321 = −36,06 kN

Cevap

FBC = −36,06 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

G düğüm noktası

FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 43,13 kN (T), BC: 43,13 kN (T), CD: 30,62 kN (T), DE: 30,62 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 30,21 kN (C), HE: 51,04 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 11,46 kN (T), HC: 32,29 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 35,81 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 9000·2500³/(3·2,4 × 10¹²) = 19,53 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 16,28 mm

Toplayın

δ = 19,53 + 16,28 = 35,81 mm

Cevap

δ = 35,81 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: RB = 15 kN

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·5/8 = 15 kN

Cevap

RB = 15 kN
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 44,29 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN

Cevap

Pcr = 44,29 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 47,98 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Cevap

σcr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis