Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 40 kNM = 20 kN·mABRA​ = ?8 m1 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 8 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 9 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 10 mP = 40 kN @ 8 mM = 20 kN·m (saat yönünde) @ 9 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 12 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?3 m1 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 12 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 3 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw0 = 12 kN/mP = 35 kN @ 3 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
10 kN/m30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 12 kN/mAB6 m4 m

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. A’dan eğilme momentinin en büyük olduğu kesite olan uzaklık x0 değerini bulun.

L = 10 mw = 12 kN/m, 6 ile 10 m arasında
x0 = m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH30 kN35 kN20 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB45 kN30 kN8 m3 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 45 kNyatay yük = 30 kN →
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 5 kN/mABθ3 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θA değerini radyan cinsinden bulun.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Kiriş sehimiZor
w = 2,5 kN/mABδ4,5 m

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1 m20 × 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 115 kNL = 4 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 6 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·10 − 40·8 − 20 = 0
RB = 340/10 = 34 kN

Düşey denge

RA = 40 − 34 = 6 kN

Cevap

RA = 6 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 137 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 24·1,333 + 35·3 = 137 kN·m

Cevap

MA = 137 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 75 kN, R2 = 75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 130, MC = 220, MD = 270 kN·m, ME = 220, MF = 130, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 270 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: x0 = 6,8 m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 8 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 12·4·8
RB = 384/10 = 38,4 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 38,4 = 9,6 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

RA − w·(x0 − 6) = 0
x0 = 6 + 9,6/12 = 6,8 m

Cevap

x0 = 6,8 m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 43,75 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 41,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −37,18 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·3 + 30·2 → Cy = 24,38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 24,38 = 20,63 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20,63/0,5547 = −37,18 kN

Cevap

FAB = −37,18 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: θA = 0,02223 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Uç eğimi

θA = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,02223 rad

Cevap

θA = 0,02223 rad

Bu, 1,274° eder.

8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 200,7 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·6,742 × 10⁷/100)1/3 = 200,7 mm

Cevap

hreq = 200,7 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 105,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1000² = 105276 N = 105,3 kN

Cevap

Pcr = 105,3 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 111 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 111 mm

Cevap

d = 111 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 288,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis