Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 25 kNM = 10 kN·mABRB​ = ?1 m3,5 m0,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 1 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 4,5 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.

L = 5 mP = 25 kN @ 1 mM = 10 kN·m (saat yönünün tersine) @ 4,5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 4 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?10 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 4 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 10 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 45 kN @ 10 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 12 kN/mABkesit2 m2 m

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 12 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
12 kN/m25 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 12 m40 kN @ 4 m12 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH30 kN30 kN4 × 4 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 30 kN ↓F: 30 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH20 kN10 kN40 kN15 kN4 × 4 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 40 kN →G: 15 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
P = 30 kNABδ2,5 m5,5 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 30 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 22 kNABδ7 m1 m

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δmax değerini bulun.

P = 22 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 90 kNL = 2 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 90 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 90 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 3 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·5 − 25·1 + 10 = 0
RB = 15/5 = 3 kN

Düşey denge

RA = 25 − 3 = 22 kN

Cevap

RB = 3 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 516,7 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 45·10 = 516,7 kN·m

Cevap

MA = 516,7 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 24 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24kesit2 m2 m

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 24·2 − 12·2·1 = 24 kN·m

Cevap

Mx = 24 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 79 kN, R2 = 106 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 134, MC = 220 kN·m, MD = 178, ME = 88, MF = −50, MG = 0

Cevap

İşaret C: MC = 220 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 45 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 21,21 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 21,21 kN (T), DG: 21,21 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: BF elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

B düğüm noktası

AB ve BC aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca BF’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 56,67 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 20,83 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 4,167 kN (T), HC: 20,83 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: BF
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 14,07 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 30000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·2500²·5500²/(3·1,68 × 10¹³·8000) = 14,07 mm

Cevap

δP = 14,07 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 2,757 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 22000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

En büyük sehim

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2,757 mm

Cevap

δmax = 2,757 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 269,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Cevap

Pcr = 269,2 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 48,34 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 48,34 mm

Cevap

d = 48,34 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 115,8, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis