Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 2,5 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 6 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 6 mP = 15 kN @ 6 mw = 3 kN/m, 0 ile 2,5 m arasında

M_A = kN·m

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_B değerini bulun.

L = 6 mP = 55 kN @ 4,5 mw = 8 kN/m, 4 ile 5 m arasında

R_B = kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 4 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1,5 m

M_x = kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 4 mP = 50 kN @ 1 mw = 2 kN/m, 0 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 25 kN

F_AB = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 4 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 10 kNa = 4 mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 5 mw = 10 kN/m

R_B = kN

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 99,38 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 3·2,5 = 7,5 kN, x̄ = 1,25 m

Duvara göre moment

M_A = P·a + W·x̄ = 15·6 + 7,5·1,25 = 99,38 kN·m

Cevap

M_A = 99,38 kN·m

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_B = 47,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, x̄ = 4,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4,5 + 8·1·4,5

R_B = 283,5/6 = 47,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 47,25 = 15,75 kN

Cevap

R_B = 47,25 kN

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 10,5 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 10·1,5 − 4·1,5·0,75 = 10,5 kN·m

Cevap

M_x = 10,5 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 40,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 2·4·2

R_B = 66/4 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 16,5 = 41,5 kN

V = 0 nerede?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 39,5 kN

V(1⁺) = 39,5 − 50 = −10,5 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 41,5·1 − 2·1²/2 = 40,5 kN·m

Cevap

M_max = 40,5 kN·m

A’dan x = 1 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −19,53 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·3 → C_y = 9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 9,375 = 15,63 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15,63/0,8 = −19,53 kN

Cevap

F_AB = −19,53 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −58,93 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 − 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 8,333 = 41,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41,67/0,7071 = −58,93 kN

Cevap

F_AB = −58,93 kN (basınç)

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 11,54 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 10000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·4000²·1000²/(3·9,24 × 10¹¹·5000) = 11,54 mm

Cevap

δ_P = 11,54 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 18,75 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18,75 kN

Cevap

R_B = 18,75 kN

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,412 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Cevap

P_cr = 2,412 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 6,218 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Cevap

σ_cr = 6,218 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis