Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 4 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?3 m0,5 m1,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 3 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 3,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 5 mP = 15 kN @ 3,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 3 m arasında
MA = kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m1 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mP = 30 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 4 ile 5 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 12 kN/mP = 50 kNABkesit0,5 m2 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 2,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti Mx değerini A ankastre mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 2,5 mP = 50 kN @ 2,5 mw = 12 kN/m, 0 ile 2,5 m arasındax = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 12 kN/mP = 35 kNAB3 m2 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 5 mP = 35 kN @ 3 mw = 12 kN/m, 0 ile 5 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB25 kN5 m4 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 4 m uzaktadüşey yük = 25 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB25 kN30 kN5 m3 m3 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 30 kN ←
FAC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 20 kN/mABθ2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θA değerini radyan cinsinden bulun.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Kiriş sehimiZor
w = 1 kN/mABδ3 m

50 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 50 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 m40 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2 md = 30 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 70,5 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = 1,5 m

Duvara göre moment

MA = P·a + W·x̄ = 15·3,5 + 12·1,5 = 70,5 kN·m

Cevap

MA = 70,5 kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 16,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3 m1 m1 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, x̄ = 4,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 5·1·4,5
RB = 112,5/6 = 18,75 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 18,75 = 16,25 kN

Cevap

RA = 16,25 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = −124 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −50·2 = −100 kN·m
w: −12·2²/2 = −24 kN·m
Mx = −100 − 24 = −124 kN·m

Cevap

Mx = −124 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 78 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 12·5·2,5
RB = 255/5 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 51 = 44 kN

V = 0 nerede?

V(3⁻) = RA − w·3 = 8 kN
V(3⁺) = 8 − 35 = −27 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 44·3 − 12·3²/2 = 78 kN·m

Cevap

Mmax = 78 kN·m

A’dan x = 3 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −8,333 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20 = 5 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,6 = −8,333 kN

Cevap

FAB = −8,333 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = −2 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 − 30·3 → Cy = −3 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −3 = 28 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−3/0,8321 = 3,606 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(3,606)·0,5547 = −2 kN

Cevap

FAC = −2 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: θA = 0,01409 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Uç eğimi

θA = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01409 rad

Cevap

θA = 0,01409 rad

Bu, 0,8074° eder.

8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 124,2 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·12) = 7,99 × 10⁶ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·7,99 × 10⁶/50)1/3 = 124,2 mm

Cevap

hreq = 124,2 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 50,13 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2100² = 50131 N = 50,13 kN

Cevap

Pcr = 50,13 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 111 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Cevap

σcr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis