Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 15 kNM = 25 kN·mABRA​ = ?4 m3 m3 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 7 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 4 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 10 mP = 15 kN @ 7 mM = 25 kN·m (saat yönünde) @ 4 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 8 mP = 45 kN @ 2 mw = 5 kN/m, 1 ile 7 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 8 kN/mABkesit0,5 m9,5 m

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 0,5 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 10 kN/mP = 45 kNABkesit3,5 m1 m0,5 m

A mesnedinden x = 4,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 45 kN @ 3,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 4,5 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB50 kN6 m2 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 6 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 50 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB30 kN20 kN4 m3 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 30 kNyatay yük = 20 kN ←
FAC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 2 kNABδ4 m1 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 4 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 2 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (çelik)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 26 kNABδ3,5 m2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 2,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Açıklık ortasındaki sehim δmid değerini bulun.

P = 26 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 m20 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 2 md = 80 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 2 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·10 − 15·7 − 25 = 0
RB = 130/10 = 13 kN

Düşey denge

RA = 15 − 13 = 2 kN

Cevap

RA = 2 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 48,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​RB​1 m1 m5 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 5·6·4
RB = 210/8 = 26,25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 26,25 = 48,75 kN

Cevap

RA = 48,75 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = 36 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40kesit0,5 m9,5 m

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 40 − 8·0,5 = 36 kN

Cevap

Vx = 36 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 27 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 45·3,5 + 10·5·2,5
RB = 282,5/5 = 56,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 56,5 = 38,5 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 38,5RB​ = 56,5kesit3,5 m1 m0,5 m

x = 4,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 38,5·4,5 − 45·(4,5 − 3,5) − 10·4,5·2,25 = 27 kN·m

Cevap

Mx = 27 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −47,14 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16,67 = 33,33 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −33,33/0,7071 = −47,14 kN

Cevap

FAB = −47,14 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 0,625 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB30 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 − 20·4 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 2,5 = 27,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2,5/0,9701 = −2,577 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−2,577)·0,2425 = 0,625 kN

Cevap

FAC = 0,625 kN (çekme)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 2,444 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 2000 N, a = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 1,778 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0006667 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,444 mm

Cevap

δB = 2,444 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmid = 3,512 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Açıklık ortası sehimi

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 26000·2500·(3·6000² − 4·2500²)/(48·3,2 × 10¹³) = 3,512 mm

Cevap

δmid = 3,512 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 17,69 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1250² = 17686 N = 17,69 kN

Cevap

Pcr = 17,69 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 69,09 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Cevap

σcr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis