Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m2,5 m1,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mP1 = 60 kN @ 2 mP2 = 45 kN @ 4,5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 70 kN, 40°Q = 50 kNABRA​ = ?2 m4 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 2 m uzaklıkta yatayla 40° açı yapan bir P yükü ve A’dan 6 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.

L = 8 mP = 70 kN @ 2 m, θ = 40°Q = 50 kN @ 6 m
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
12 kN/m25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

25 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 10 kN/mABC4 m2 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 4 m konumlarında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB40 kN4 m1 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 40 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB25 kN5 kN5 m1 m4 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 5 kN →
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 26 kNABδ1 m1 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 26 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 65 kNAB3 m3 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki RB değerini bulun.

L = 6 mP = 65 kN @ 3 m
RB = kN
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 m25 × 80 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 95 kNL = 3 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 95 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 53,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m2,5 m1,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 45·4,5
RB = 322,5/6 = 53,75 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 53,75 = 51,25 kN

Cevap

RB = 53,75 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 70,81 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 70·sin 40° = 45 kN
Ph = 70·cos 40° = 53,62 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 50·6 → RB = 48,75 kN
Ay = 45 + 50 − 48,75 = 46,25 kN
Ax = Ph = 53,62 kN

A’daki bileşke

RA = √(53,62² + 46,25²) = 70,81 kN

Cevap

RA = 70,81 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 48,5 kN, R2 = 48,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 42,5, MC = 73, MD = 91,5 kN·m, ME = 73, MF = 42,5, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 91,5 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 11,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 10·6·3
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

Sıfır kesme kuvveti

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/10 = 1,5 m

En büyük pozitif moment

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·10) = 11,25 kN·m

Cevap

Mmax = 11,25 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −31,62 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0,9487 = −31,62 kN

Cevap

FAB = −31,62 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −12,73 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 + 5·4 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 9 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0,7071 = −12,73 kN

Cevap

FBC = −12,73 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 1,29 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 0,5159 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0007738 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,29 mm

Cevap

δB = 1,29 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: RB = 20,31 kN

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Cevap

RB = 20,31 kN
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 131,6 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1250² = 131595 N = 131,6 kN

Cevap

Pcr = 131,6 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 84,27 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 84,27 mm

Cevap

d = 84,27 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 142,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis