Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​2 m0,5 m1,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 4 mP1 = 55 kN @ 2 mP2 = 30 kN @ 2,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 55 kN, 45°Q = 10 kNABα = ?1 m2,5 m2,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3,5 m uzaklıkta yatayla 45° açı yapan bir P yükü ve A’dan 1 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvveti ile yatay arasındaki açı α değerini bulun.

L = 6 mP = 55 kN @ 3,5 m, θ = 45°Q = 10 kN @ 1 m
α = °
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 5 kN/mABkesit2,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 5 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 3 kN/mP = 10 kNABkesit1 m3 m

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 10 kN @ 1 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 1 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB40 kN8 m6 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 40 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB50 kN10 kN5 m2 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 10 kN →
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 4 kNABδ2 m0,5 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 2 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 4 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 3 kN/mABδ3,5 m

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 md = 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 38,75 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 55 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m0,5 m1,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·4 = 55·2 + 30·2,5
RB = 185/4 = 46,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 46,25 = 38,75 kN

Cevap

RA = 38,75 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: α = 32,25 °

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 55·sin 45° = 38,89 kN
Ph = 55·cos 45° = 38,89 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·6 = 38,89·3,5 + 10·1 → RB = 24,35 kN
Ay = 38,89 + 10 − 24,35 = 24,54 kN
Ax = Ph = 38,89 kN

A’daki yön

α = atan(Ay/Ax) = atan(24,54/38,89) = 32,25°

Cevap

α = 32,25°
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −2,5 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10kesit2,5 m1,5 m

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 10 − 5·2,5 = −2,5 kN

Cevap

Vx = −2,5 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 12 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 3·4·2
RB = 34/4 = 8,5 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 8,5 = 13,5 kN
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​ = 13,5RB​ = 8,5kesit1 m3 m

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 13,5·1 − 3·1·0,5 = 12 kN·m

Cevap

Mx = 12 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −42,43 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 40·6 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,7071 = −42,43 kN

Cevap

FBC = −42,43 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −36,77 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 + 10·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 24 = 26 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26/0,7071 = −36,77 kN

Cevap

FAB = −36,77 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 17,46 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 4000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 12,7 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,009524 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17,46 mm

Cevap

δB = 17,46 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 182,6 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,806 × 10⁷/75)1/3 = 182,6 mm

Cevap

hreq = 182,6 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 23,55 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Cevap

Pcr = 23,55 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 5,64 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/10 = 350

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/350² = 5,64 MPa

Cevap

σcr = 5,64 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis