Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?2,5 m2,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mP1 = 50 kN @ 2,5 mP2 = 40 kN @ 5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mP = 25 kN @ 5 mw = 5 kN/m, 3 ile 5 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 10 kN/mABkesit3 m5 m

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mw = 10 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 3 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mP = 60 kNABkesit1,5 m3,5 m

A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 60 kN @ 1,5 mw = 4 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB60 kN8 m6 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 60 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB15 kN25 kN4 m1 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 15 kNyatay yük = 25 kN →
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 5 kN/mABθ5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Kirişin A mesnedindeki eğimi θA değerini radyan cinsinden bulun.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Kiriş sehimiZor
w = 15 kN/mδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 md = 50 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 145 kNL = 2 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 54,17 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2,5 m2,5 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 50·2,5 + 40·5
RB = 325/6 = 54,17 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 54,17 = 35,83 kN

Cevap

RB = 54,17 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 27,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​3 m2 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 25·5 + 5·2·4
RB = 165/6 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 27,5 = 7,5 kN

Cevap

RB = 27,5 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40kesit3 m5 m

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 40·3 − 10·3·1,5 = 75 kN·m

Cevap

Mx = 75 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 73,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 60·1,5 + 4·5·2,5
RB = 140/5 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 28 = 52 kN
w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​ = 52RB​ = 28kesit1,5 m3,5 m

x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 52·1,5 − 4·1,5·0,75 = 73,5 kN·m

Cevap

Mx = 73,5 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 22,5 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·6 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0,8944 = −50,31 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−50,31)·0,4472 = 22,5 kN

Cevap

FAC = 22,5 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −29,3 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 + 25·2 → Cy = 16,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 16,25 = −1,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16,25/0,5547 = −29,3 kN

Cevap

FBC = −29,3 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: θA = 0,0148 rad

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Eğim θ = dv/dx, M/(EI)’nin birinci integralidir; tutarlı birimlerle radyan olarak çıkar.

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Uç eğimi

θA = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,0148 rad

Cevap

θA = 0,0148 rad

Bu, 0,8478° eder.

8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 9,462 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Cevap

Pcr = 9,462 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 84,63 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 84,63 mm

Cevap

d = 84,63 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 94,52, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis