Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w0​ = 15 kN/mP = 25 kNABRB​ = ?3 m3 m

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da sıfırdan B’de 15 kN/m değerine doğrusal artan bir yük taşır. A’dan 3 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mw0 = 15 kN/mP = 25 kN @ 3 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 4 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?3,5 m0,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda sıfır olan ve serbest uç B’de 4 kN/m değerine artan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 3,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 40 kN @ 3,5 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 70 kNP2​ = 60 kNAB1,5 m1 m1,5 m

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 4 mP1 = 70 kN @ 1,5 mP2 = 60 kN @ 2,5 m
Mmax = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
10 kN/m35 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 0 m55 kN @ 12 m10 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB50 kN8 m5 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 50 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB20 kN15 kN8 m2 m2 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 20 kNyatay yük = 15 kN ←
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 27 kNABδ0,5 m1,5 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 0,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 27 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 5 kN/mδL = 3 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 md = 40 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 80 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 42,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·4 + 25·3
RB = 42,5 kN
RA = 70 − 42,5 = 27,5 kN

Cevap

RB = 42,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 161,3 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 8·2,667 + 40·3,5 = 161,3 kN·m

Cevap

MA = 161,3 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 99,38 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1,5 + 60·2,5
RB = 255/4 = 63,75 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 63,75 = 66,25 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P1: M = RA·1,5 = 66,25·1,5 = 99,38 kN·m
yük altında P2: M = RB·1,5 = 63,75·1,5 = 95,63 kN·m

En büyük değer

Mmax = 99,38 kN·m (yük altında P1)

Cevap

Mmax = 99,38 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 10 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 70 kN, R2 = 100 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −70, MC = −20, MD = −10, ME = −40, MF = −110 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −110 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −50,49 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31,25 = 18,75 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,3714 = −50,49 kN

Cevap

FAB = −50,49 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −3,953 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·2 − 15·2 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 1,25 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,25/0,3162 = −3,953 kN

Cevap

FBC = −3,953 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 3,64 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 27000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 0,6618 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001985 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,64 mm

Cevap

δB = 3,64 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 57,53 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 21,7 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Cevap

Pcr = 21,7 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 44,22 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Cevap

σcr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis