Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 65 kNP2​ = 10 kNABCRB​ = ?1 m2,5 m1,5 m

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 3,5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.

AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 65 kN @ 1 mP2 = 10 kN @ 5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​3 m0,5 m1,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 6 mP = 55 kN @ 3,5 mw = 3 kN/m, 3 ile 5 m arasında
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 4 kN/mABkesit3,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 4 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 5 kN/mP = 35 kNABkesit0,5 m4 m1,5 m

A mesnedinden x = 0,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 35 kN @ 4,5 mw = 5 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH30 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 30 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB40 kN5 kN5 m3 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 40 kNyatay yük = 5 kN ←
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 12 kN/mδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 75 kNAB3 m3 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Açıklık ortasında P tekil yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 6 mP = 75 kN @ 3 m
MA = kN·m
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 md = 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 30 kNL = 4 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 30 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 32,86 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 65·1 + 10·5
RB = 115/3,5 = 32,86 kN

Düşey denge

RA = 65 + 10 − 32,86 = 42,14 kN

Cevap

RB = 32,86 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 24,92 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​RB​3 m0,5 m1,5 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3,5 + 3·2·4
RB = 216,5/6 = 36,08 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 36,08 = 24,92 kN

Cevap

RA = 24,92 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 10,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2,5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10kesit3,5 m1,5 m

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 10·3,5 − 4·3,5·1,75 = 10,5 kN·m

Cevap

Mx = 10,5 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 11,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 35·4,5 + 5·6·3
RB = 247,5/6 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 41,25 = 23,75 kN
w = 5 kN/mP = 35 kNABRA​ = 23,75RB​ = 41,25kesit0,5 m4 m1,5 m

x = 0,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 23,75·0,5 − 5·0,5·0,25 = 11,25 kN·m

Cevap

Mx = 11,25 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 16,88 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 11,25 kN (T), DE: 5,625 kN (T), FG: 16,88 kN (C), GH: 5,625 kN (C), AF: 28,13 kN (C), HE: 9,375 kN (C), BF: 7,5 kN (C), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 9,375 kN (T), DG: 9,375 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −26,87 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·3 − 5·3 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 21 = 19 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −19/0,7071 = −26,87 kN

Cevap

FAB = −26,87 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 24,12 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 24,12 mm

Cevap

δmax = 24,12 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: MA = 84,38 kN·m

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

MA = P·L/2 − RB·L = 225 − 140,6 = 84,38 kN·m

Cevap

MA = 84,38 kN·m
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 71,19 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Cevap

Pcr = 71,19 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 51,58 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 51,58 mm

Cevap

d = 51,58 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 155,1, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis