Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 25 kN @ 4 mP₂ = 30 kN @ 6 m

R_A = kN

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 2 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 6 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 2,5 m uzaklıkta bir P tekil yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

AC = 2 mAD = 6 mP = 80 kN @ 2,5 m

M_A = kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 5 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 35 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mM₀ = 35 kN·m saat yönünde, konumu 5 m

M_x = kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 4 mP = 25 kN @ 3 mw = 3 kN/m, 0 ile 4 m arasında

M_max = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

G: 20 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 16 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 27 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·4 + 30·6

R_B = 280/10 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 28 = 27 kN

Cevap

R_A = 27 kN

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 140 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 80·0,5

R_D = 10 kN

V_C = 80 − 10 = 70 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti V_C, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

R_A = 70 = 70 kN

M_A = 70·2 = 140 kN·m

Cevap

M_A = 140 kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 17,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/10 = 3,5 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −3,5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık R_A’yı ve kuvvet çiftini içerir.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,5·5 + 35 = 17,5 kN·m

Cevap

M_x = 17,5 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 23,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 3·4·2

R_B = 99/4 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 24,75 = 12,25 kN

V = 0 nerede?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 3,25 kN

V(3⁺) = 3,25 − 25 = −21,75 kN

Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 12,25·3 − 3·3²/2 = 23,25 kN·m

Cevap

M_max = 23,25 kN·m

A’dan x = 3 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 7,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 7,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 12,5 kN (C), HE: 12,5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −43,27 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·3 − 10·2 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 26 = 24 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −24/0,5547 = −43,27 kN

Cevap

F_AB = −43,27 kN (basınç)

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 5,848 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 5,848 mm

Cevap

δ_max = 5,848 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 5,238 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 16000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·4000³/(48·1,68 × 10¹³) = 1,27 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 3,968 mm

Toplayın

δ_max = 1,27 + 3,968 = 5,238 mm

Cevap

δ_max = 5,238 mm

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 6,867 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Cevap

P_cr = 6,867 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 111 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Cevap

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis