Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m7 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 10 mP1 = 60 kN @ 2 mP2 = 45 kN @ 9 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 40 kN, 50°Q = 20 kNABRA​ = ?0,5 m2,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3 m uzaklıkta yatayla 50° açı yapan bir P yükü ve A’dan 0,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.

L = 4 mP = 40 kN @ 3 m, θ = 50°Q = 20 kN @ 0,5 m
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 8 kN/mABkesit1,5 m3,5 m

A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 8 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 10 kN/mP = 15 kNABkesit2,5 m1 m1,5 m

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 15 kN @ 2,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB60 kN4 m3 m3 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 60 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB25 kN30 kN8 m6 m4 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 30 kN ←
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 12 kN/mδL = 5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 6 kNP = 6 kNABδ2 m2 m2 m

Basit mesnetli bir kiriş, üçte bir noktalarında (her mesnetten L/3 uzaklıkta) iki eşit P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak açıklık ortasındaki sehim δmax değerini bulun.

P = 6 kNL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2 m30 × 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 110 kNL = 1,5 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 110 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 110 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 52,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m7 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 45·9
RB = 525/10 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 52,5 = 52,5 kN

Cevap

RB = 52,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 35,97 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 40·sin 50° = 30,64 kN
Ph = 40·cos 50° = 25,71 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·4 = 30,64·3 + 20·0,5 → RB = 25,48 kN
Ay = 30,64 + 20 − 25,48 = 25,16 kN
Ax = Ph = 25,71 kN

A’daki bileşke

RA = √(25,71² + 25,16²) = 35,97 kN

Cevap

RA = 35,97 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 21 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20kesit1,5 m3,5 m

x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 20·1,5 − 8·1,5·0,75 = 21 kN·m

Cevap

Mx = 21 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 37,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2,5 + 10·5·2,5
RB = 162,5/5 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32,5 = 32,5 kN
w = 10 kN/mP = 15 kNABRA​ = 32,5RB​ = 32,5kesit2,5 m1 m1,5 m

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 32,5·3,5 − 15·(3,5 − 2,5) − 10·3,5·1,75 = 37,5 kN·m

Cevap

Mx = 37,5 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 15 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0,9487 = −47,43 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−47,43)·0,3162 = 15 kN

Cevap

FAC = 15 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −38,31 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·6 − 30·4 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3,75 = 21,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/7,211 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21,25/0,5547 = −38,31 kN

Cevap

FAB = −38,31 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 16,61 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 16,61 mm

Cevap

δmax = 16,61 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 77,31 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, L = 6000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

L/3’teki bir yük

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 38,66 mm

İki yükü toplayın

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 77,31 mm

Cevap

δmax = 77,31 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 177,7 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1000² = 177653 N = 177,7 kN

Cevap

Pcr = 177,7 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 61,81 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61,81 mm

Cevap

d = 61,81 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 97,07, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis