Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m2,5 m1,5 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 5 mP1 = 60 kN @ 1 mP2 = 50 kN @ 3,5 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 10 kN/mP = 65 kNABMA​ = ?2 m2 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda 10 kN/m olan ve serbest uç B’de sıfıra azalan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 2 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw0 = 10 kN/mP = 65 kN @ 2 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 2 kN/mABkesit4,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 4,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 2 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 4,5 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mABC6 m1 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. A’dan mesnetler arasındaki dönüm noktasına (eğilme momentinin işaret değiştirdiği yere) olan uzaklık xc değerini bulun.

L = 7 mw = 8 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
xc = m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB25 kN8 m5 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 25 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB15 kN15 kN8 m3 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 15 kNyatay yük = 15 kN ←
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
P = 6 kNABδ3 m2 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 6 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 2,5 kN/mABδ5 m

125 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 125 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 m50 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 115 kNL = 5 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu ankastre. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 115 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 115 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 47 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1 m2,5 m1,5 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·5 = 60·1 + 50·3,5
RB = 235/5 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 47 = 63 kN

Cevap

RB = 47 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 156,7 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·10·4 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 20·1,333 + 65·2 = 156,7 kN·m

Cevap

MA = 156,7 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −3 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6kesit4,5 m1,5 m

x = 4,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 6 − 2·4,5 = −3 kN

Cevap

Vx = −3 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: xc = 5,833 m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 8·7·3,5
RB = 196/6 = 32,67 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 32,67 = 23,33 kN

Sıfır moment

Mesnetler arasında M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0 dışında x = 2RA/w’de sıfırdır.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·23,33/8 = 5,833 m

Cevap

xc = 5,833 m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 11,72 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·5 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15,63 = 9,375 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15,63/0,8 = −19,53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,53)·0,6 = 11,72 kN

Cevap

FAC = 11,72 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −23,66 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·3 − 15·2 → Cy = 1,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 1,875 = 13,13 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13,13/0,5547 = −23,66 kN

Cevap

FAB = −23,66 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 1,714 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 6000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·3000²·2000²/(3·8,4 × 10¹²·5000) = 1,714 mm

Cevap

δP = 1,714 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 220 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,11 × 10⁸/125)1/3 = 220 mm

Cevap

hreq = 220 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 11,99 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11,99 kN

Cevap

Pcr = 11,99 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 65,62 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,62 mm

Cevap

d = 65,62 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 152,4, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis