Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 4 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?5 m3 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 8 mP = 45 kN @ 5 mw = 4 kN/m, 0 ile 8 m arasında
MA = kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 10 kN/mP = 20 kNABCRB​ = ?0,5 m3,5 m0,5 m1,5 m

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4,5 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 0,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 4 m konumundan 6 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 20 kN @ 0,5 mw = 10 kN/m, 4 ile 6 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 45 kNP2​ = 45 kNAB5 m4 m1 m

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 10 mP1 = 45 kN @ 5 mP2 = 45 kN @ 9 m
Mmax = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mP = 15 kNAB4 m2 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 6 mP = 15 kN @ 4 mw = 4 kN/m, 0 ile 6 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB10 kN5 m3 m4 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 10 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH15 kN10 kN40 kN35 kN20 kN35 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓F: 35 kN →G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 20 kN/mP = 17 kNABδ1,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 17 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mP = 3 kNδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 3 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m30 × 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 30 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 353 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m

Duvara göre moment

MA = P·a + W·x̄ = 45·5 + 32·4 = 353 kN·m

Cevap

MA = 353 kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 24,44 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 20·0,5 + 20·5
RB = 110/4,5 = 24,44 kN
RA = 40 − 24,44 = 15,56 kN

Cevap

RB = 24,44 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 135 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣMA = 0: RB·10 = 45·5 + 45·9
RB = 630/10 = 63 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 63 = 27 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P1: M = RA·5 = 27·5 = 135 kN·m
yük altında P2: M = RB·1 = 63·1 = 63 kN·m

En büyük değer

Mmax = 135 kN·m (yük altında P1)

Cevap

Mmax = 135 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4 + 4·6·3
RB = 132/6 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 22 = 17 kN

V = 0 nerede?

V(4⁻) = RA − w·4 = 1 kN
V(4⁺) = 1 − 15 = −14 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 17·4 − 4·4²/2 = 36 kN·m

Cevap

Mmax = 36 kN·m

A’dan x = 4 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 3 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·3 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 6 = 4 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6/0,8944 = −6,708 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,708)·0,4472 = 3 kN

Cevap

FAC = 3 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 88,75 kN (T), BC: 87,5 kN (T), CD: 87,5 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 88,75 kN (C), GH: 66,25 kN (C), AF: 76,01 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 13,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 30,05 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 24,08 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 17000·1500³/(3·1,32 × 10¹²) = 14,49 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 9,588 mm

Toplayın

δ = 14,49 + 9,588 = 24,08 mm

Cevap

δ = 24,08 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 5,471 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 1,263 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 4,209 mm

Toplayın

δmax = 1,263 + 4,209 = 5,471 mm

Cevap

δmax = 5,471 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 12,44 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2500² = 12436 N = 12,44 kN

Cevap

Pcr = 12,44 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 17,77 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Cevap

σcr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis