Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 5 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 2 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 2,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki düşey tepki RA değerini bulun.

L = 4 mP = 10 kN @ 2,5 mw = 5 kN/m, 0 ile 2 m arasında
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 6 mP = 10 kN @ 5 mw = 12 kN/m, 3 ile 6 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 10 kN/mABkesit3 m2 m

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 3 m
Vx = kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 20 kN/mAB2 m3 m5 m

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 10 mw = 20 kN/m, 2 ile 5 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB45 kN8 m1 m2 m

AC çubuğundaki FAC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 45 kN
FAC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB55 kN20 kN8 m3 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 55 kNyatay yük = 20 kN ←
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 5 kN/mP = 24 kNABδ1,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 24 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 1 kN/mABδ5 m

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 6 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 5 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 20 kN

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = 1 m

Düşey denge

RA = P + W = 10 + 10 = 20 kN

Cevap

RA = 20 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 35,33 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 12 kN/mP = 10 kNABRA​RB​3 m2 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, x̄ = 4,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 10·5 + 12·3·4,5
RB = 212/6 = 35,33 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 35,33 = 10,67 kN

Cevap

RB = 35,33 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Vx = −5 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25kesit3 m2 m

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 25 − 10·3 = −5 kN

Cevap

Vx = −5 kN
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 116 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3·3,5
RB = 210/10 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 21 = 39 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti RA ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 39/20 = 3,95 m

En büyük moment

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 39·3,95 − 20·1,95²/2 = 116 kN·m

Cevap

Mmax = 116 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAC = 19,69 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·1 → Cy = 5,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 5,625 = 39,38 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5,625/0,2747 = −20,48 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20,48)·0,9615 = 19,69 kN

Cevap

FAC = 19,69 kN (çekme)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −59,22 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB55 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·3 − 20·3 → Cy = 13,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,13 = 41,88 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −41,88/0,7071 = −59,22 kN

Cevap

FAB = −59,22 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 11,97 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 24000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(3EI) = 24000·1500³/(3·2,52 × 10¹²) = 10,71 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,256 mm

Toplayın

δ = 10,71 + 1,256 = 11,97 mm

Cevap

δ = 11,97 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 185,6 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,327 × 10⁷/100)1/3 = 185,6 mm

Cevap

hreq = 185,6 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 3,052 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/12000² = 3052 N = 3,052 kN

Cevap

Pcr = 3,052 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 12,69 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/15 = 233,3

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Cevap

σcr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis