Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w = 3 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?1,5 m1,5 m1 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvardan 3 m uzaklığa kadar düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 1,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mP = 40 kN @ 1,5 mw = 3 kN/m, 0 ile 3 m arasında
MA = kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m1 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 4 mP = 60 kN @ 1 mw = 10 kN/m, 2 ile 3 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 5 kN/mABkesit2,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 2,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 5 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 8 kN/mP = 40 kNABkesit3 m7 m

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 40 kN @ 3 mw = 8 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 3 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH30 kN15 kN40 kN20 kN4 × 4 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 30 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH25 kN15 kN20 kN15 kN30 kN40 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓F: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 4 kN/mδL = 4 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
P = 13 kNABδ3,5 m1,5 m

Basit mesnetli bir kiriş B mesnedinden b = 1,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Kirişin en büyük sehimi δmax değerini bulun.

P = 13 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 m40 × 100 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 145 kNL = 1,5 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 73,5 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 3·3 = 9 kN, x̄ = 1,5 m

Duvara göre moment

MA = P·a + W·x̄ = 40·1,5 + 9·1,5 = 73,5 kN·m

Cevap

MA = 73,5 kN·m
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 21,25 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1 m1 m1 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 10·1·2,5
RB = 85/4 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 21,25 = 48,75 kN

Cevap

RB = 21,25 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 9,375 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10kesit2,5 m1,5 m

x = 2,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 10·2,5 − 5·2,5·1,25 = 9,375 kN·m

Cevap

Mx = 9,375 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 168 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 8·10·5
RB = 520/10 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 52 = 68 kN
w = 8 kN/mP = 40 kNABRA​ = 68RB​ = 52kesit3 m7 m

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 68·3 − 8·3·1,5 = 168 kN·m

Cevap

Mx = 168 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 58,75 kN (T), BC: 58,75 kN (T), CD: 46,25 kN (T), DE: 46,25 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 83,09 kN (C), HE: 65,41 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 19,45 kN (T), HC: 37,12 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: DH elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

D düğüm noktası

CD ve DE aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca DH’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 12,19 kN (T), BC: 12,19 kN (T), CD: 26,56 kN (T), DE: 26,56 kN (T), FG: 70,63 kN (C), GH: 70,63 kN (C), AF: 86,98 kN (C), HE: 44,27 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 30,73 kN (T), HC: 6,771 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: DH
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 11,23 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 11,23 mm

Cevap

δ = 11,23 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 4,617 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

En büyük değerin konumu

Uzun parçadaki eğimi sıfıra eşitlemek konumu verir.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

En büyük sehim

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 4,617 mm

Cevap

δmax = 4,617 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 334,2 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1050² = 334209 N = 334,2 kN

Cevap

Pcr = 334,2 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 72,04 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,04 mm

Cevap

d = 72,04 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 166,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis