Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m4 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 8 mP1 = 20 kN @ 3 mP2 = 30 kN @ 4 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 6 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?7 m1 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda sıfır olan ve serbest uç B’de 6 kN/m değerine artan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 7 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 8 mw0 = 6 kN/mP = 15 kN @ 7 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 5 kN/mABkesit5 m5 m

A mesnedinden x = 5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 5 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
5 kN/m20 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

20 kN @ 12 m20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB25 kN4 m1 m3 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 25 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH25 kN15 kN30 kN20 kN30 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓H: 20 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
P = 12 kNABδ1 m1 m

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 1 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δB değerini bulun.

P = 12 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 3 kN/mABδ4 m

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği hreq değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm
hreq = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 5 m20 × 80 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 145 kNL = 3 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 145 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 145 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 27,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​3 m1 m4 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·8 = 20·3 + 30·4
RB = 180/8 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 22,5 = 27,5 kN

Cevap

RA = 27,5 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 233 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·6·8 = 24 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 24·5,333 + 15·7 = 233 kN·m

Cevap

MA = 233 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 62,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25kesit5 m5 m

x = 5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 25·5 − 5·5·2,5 = 62,5 kN·m

Cevap

Mx = 62,5 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 15 kN, R2 = 65 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 20, MC = 20, MD = 0, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Cevap

İşaret E: ME = −80 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −19,76 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Cevap

FAB = −19,76 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

G düğüm noktası

FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,536 kN (T), HC: 3,536 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: δB = 7,576 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 12000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δP = Pa³/(3EI) = 3,03 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,004545 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7,576 mm

Cevap

δB = 7,576 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: hreq = 208,7 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Gereken atalet momenti

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,682 × 10⁷/75)1/3 = 208,7 mm

Cevap

hreq = 208,7 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 5,895 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5,895 kN

Cevap

Pcr = 5,895 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 132,5 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 132,5 mm

Cevap

d = 132,5 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 181,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis