Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
w0​ = 6 kN/mP = 30 kNABRB​ = ?2 m2 m

Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 6 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. A’dan 2 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 30 kN @ 2 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m1 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 8 mP = 25 kN @ 7 mw = 12 kN/m, 5 ile 6 m arasında
RB = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 3 kN/mABkesit6 m4 m

A mesnedinden x = 6 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 3 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 6 m
Mx = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
20 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

20 kN @ 12 m20 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB15 kN8 m5 m4 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 4 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 15 kN
FBC = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB60 kN10 kN4 m3 m3 m

BC çubuğundaki FBC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 60 kNyatay yük = 10 kN ←
FBC = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 2 kN/mδL = 3 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 6 kN/mδL = 3 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 m30 × 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 19 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·4 = 12·1,333 + 30·2
RB = 19 kN
RA = 42 − 19 = 23 kN

Cevap

RB = 19 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 30,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​RB​5 m1 m1 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, x̄ = 5,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 25·7 + 12·1·5,5
RB = 241/8 = 30,13 kN
ΣFy = 0: RA = 37 − 30,13 = 6,875 kN

Cevap

RB = 30,13 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 36 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15kesit6 m4 m

x = 6 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 15·6 − 3·6·3 = 36 kN·m

Cevap

Mx = 36 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 10 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 4 kN, R2 = 36 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 8, MC = 16, MD = 24, ME = −8, MF = −40 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −40 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −11,72 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 → Cy = 9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9,375 = 5,625 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9,375/0,8 = −11,72 kN

Cevap

FBC = −11,72 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FBC = −39,53 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB60 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 10·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

Cevap

FBC = −39,53 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 8,036 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 8,036 mm

Cevap

δ = 8,036 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,085 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 10,85 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 30,45 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1750² = 30455 N = 30,45 kN

Cevap

Pcr = 30,45 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 49,35 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Cevap

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis