Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?1 m5 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 8 mP1 = 15 kN @ 1 mP2 = 10 kN @ 6 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 80 kN, 45°Q = 70 kNABRA​ = ?0,5 m3,5 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4 m uzaklıkta yatayla 45° açı yapan bir P yükü ve A’dan 0,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.

L = 6 mP = 80 kN @ 4 m, θ = 45°Q = 70 kN @ 0,5 m
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 30 kNP2​ = 20 kNAB2,5 m1,5 m1 m

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 5 mP1 = 30 kN @ 2,5 mP2 = 20 kN @ 4 m
Mmax = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 10 kN/mP = 65 kNAB3,5 m2,5 m

Basit mesnetli kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü ve bir P tekil yükü taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti Mmax değerini bulun.

L = 6 mP = 65 kN @ 3,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasında
Mmax = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH20 kN40 kN4 × 3 m4 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 20 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH35 kN35 kN25 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 35 kN ↓D: 35 kN ↓F: 25 kN →
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12FC elemanı
  13. 13HC elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
P = 13 kNABδ3 m2 m

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δP değerini bulun.

P = 13 kNa = 3 mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 4 kN/mP = 3 kNδL = 4 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δmax değerini bulun.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 2,5 m50 × 100 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 120 kNL = 4 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 120 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 120 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 9,375 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​1 m5 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 10·6
RB = 75/8 = 9,375 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 9,375 = 15,63 kN

Cevap

RB = 9,375 kN
2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 100,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·6 = 56,57·4 + 70·0,5 → RB = 43,55 kN
Ay = 56,57 + 70 − 43,55 = 83,02 kN
Ax = Ph = 56,57 kN

A’daki bileşke

RA = √(56,57² + 83,02²) = 100,5 kN

Cevap

RA = 100,5 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 47,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣMA = 0: RB·5 = 30·2,5 + 20·4
RB = 155/5 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 31 = 19 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P1: M = RA·2,5 = 19·2,5 = 47,5 kN·m
yük altında P2: M = RB·1 = 31·1 = 31 kN·m

En büyük değer

Mmax = 47,5 kN·m (yük altında P1)

Cevap

Mmax = 47,5 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mmax = 138,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 65·3,5 + 10·6·3
RB = 407,5/6 = 67,92 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 67,92 = 57,08 kN

V = 0 nerede?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 22,08 kN
V(3,5⁺) = 22,08 − 65 = −42,92 kN
Kesme kuvveti yükte işaret değiştirir, bu yüzden en büyük değer yükün altındadır.

En büyük moment

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 57,08·3,5 − 10·3,5²/2 = 138,5 kN·m

Cevap

Mmax = 138,5 kN·m

A’dan x = 3,5 m uzaklıkta oluşur.

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: BF elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

B düğüm noktası

AB ve BC aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca BF’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 18,75 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 31,25 kN (C), HE: 43,75 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 31,25 kN (T), HC: 18,75 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: BF
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

G düğüm noktası

FG ve GH aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 53,75 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 8,839 kN (C), HC: 8,839 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: δP = 23,64 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 13000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·3000²·2000²/(3·1,32 × 10¹²·5000) = 23,64 mm

Cevap

δP = 23,64 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 18,76 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δP = PL³/(48EI) = 3000·4000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 4,329 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 14,43 mm

Toplayın

δmax = 4,329 + 14,43 = 18,76 mm

Cevap

δmax = 18,76 mm
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 235 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1750² = 234991 N = 235 kN

Cevap

Pcr = 235 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 73,46 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 73,46 mm

Cevap

d = 73,46 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 152,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis