Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P = 30 kNM = 15 kN·mABRA​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 4 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 1,5 m uzaklıkta saat yönünde dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RA değerini bulun.

L = 5 mP = 30 kN @ 4 mM = 15 kN·m (saat yönünde) @ 1,5 m
RA = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
P = 80 kN, 30°Q = 75 kNABRA​ = ?5 m4 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 5 m uzaklıkta yatayla 30° açı yapan bir P yükü ve A’dan 9 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.

L = 10 mP = 80 kN @ 5 m, θ = 30°Q = 75 kN @ 9 m
RA = kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
P1​ = 80 kNP2​ = 80 kNABC1 m5 m2 m

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 2 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P1 tekil yükünü ve C’de P2 tekil yükünü taşır. B mesnedindeki eğilme momenti MB değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 8 mP1 = 80 kN @ 1 mP2 = 80 kN @ 8 mmesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında
MB = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
15 kN/m30 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 0 m20 kN @ 6 m15 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH30 kN20 kN10 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓G: 10 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB10 kN15 kN8 m1 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 10 kNyatay yük = 15 kN ←
FAB = kN
7.Kiriş sehimiOrta
w = 2 kN/mδL = 2 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 6 kN/mAB4 m

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 4 mw = 6 kN/m
MA = kN·m
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 1,5 m25 × 50 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
P = 30 kNL = 3 md = ?kesit

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 30 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 30 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (çelik)
d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 3 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·5 − 30·4 − 15 = 0
RB = 135/5 = 27 kN

Düşey denge

RA = 30 − 27 = 3 kN

Cevap

RA = 3 kN

Negatif tepki aşağı doğru etkir.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 74,54 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

Pv = 80·sin 30° = 40 kN
Ph = 80·cos 30° = 69,28 kN

Tepkiler

ΣMA = 0: RB·10 = 40·5 + 75·9 → RB = 87,5 kN
Ay = 40 + 75 − 87,5 = 27,5 kN
Ax = Ph = 69,28 kN

A’daki bileşke

RA = √(69,28² + 27,5²) = 74,54 kN

Cevap

RA = 74,54 kN
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MB = −160 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣMA = 0: RB·6 = 80·1 + 80·8
RB = 720/6 = 120 kN
ΣFy = 0: RA = 160 − 120 = 40 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmaya yalnızca P2 etkir, moment kolu a’dır. Kirişi mesnet üzerinde yukarı doğru eğer (negatif moment).

MB = −P2·a = −80·2 = −160 kN·m

Cevap

MB = −160 kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 62,5 kN, R2 = 47,5 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −30 kN·m, MC = −5, MD = 5, ME = 0, MF = −20, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −30 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 27,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 32,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 3,536 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −13,98 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·1 − 15·2 → Cy = −2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −2,5 = 12,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12,5/0,8944 = −13,98 kN

Cevap

FAB = −13,98 kN (basınç)
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 1,052 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 1,052 mm

Cevap

δmax = 1,052 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: MA = 12 kN·m

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon). Hiperstatik bir kirişte fazla bir mesnedi kaldırın ve oradaki sehimin sıfır olmasını şart koşun (uygunluk koşulu).

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δload = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti RB serbest ucu RBL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

MA = wL²/2 − RB·L = 48 − 36 = 12 kN·m

Cevap

MA = 12 kN·m
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 40,8 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1050² = 40797 N = 40,8 kN

Cevap

Pcr = 40,8 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: d = 76,04 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 76,04 mm

Cevap

d = 76,04 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 315,6, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis