Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 65 kNP2​ = 70 kNABCRB​ = ?5 m1 m4 m

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 6 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.

AB = 6 mAC = 10 mP1 = 65 kN @ 5 mP2 = 70 kN @ 10 m
RB = kN
2.Kiriş mesnet tepkileriZor
w0​ = 20 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?7 m3 m

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Duvarda sıfır olan ve serbest uç B’de 20 kN/m değerine artan doğrusal değişen bir yük ile duvardan 7 m uzaklıkta bir P tekil yükü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü MA değerini bulun.

L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 60 kN @ 7 m
MA = kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 2 kN/mP = 20 kNAB3 m2 m

Konsol kiriş A’da ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Eğilme momenti MA değerini A ankastre mesnedinde bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 20 kN @ 3 mw = 2 kN/m, 0 ile 5 m arasında
MA = kN·m
4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 5 kN/mP = 55 kNABkesit2 m4 m

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP = 55 kN @ 2 mw = 5 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 2 m
Mx = kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABCDEFGH10 kN25 kN15 kN4 × 3 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABCDEFGH25 kN15 kN15 kN4 × 4 m3 m

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 25 kN ↓F: 15 kN ↓F: 15 kN →
  1. 1AB elemanı
  2. 2BC elemanı
  3. 3CD elemanı
  4. 4DE elemanı
  5. 5FG elemanı
  6. 6GH elemanı
  7. 7AF elemanı
  8. 8HE elemanı
  9. 9BF elemanı
  10. 10CG elemanı
  11. 11DH elemanı
  12. 12BG elemanı
  13. 13DG elemanı
7.Kiriş sehimiOrta
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Kiriş sehimiZor
w = 12 kN/mδL = 3 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolon burkulmasıZor
PL = 1,5 md = 40 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 170,8 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

A’ya göre momentler

Saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: RB·6 = 65·5 + 70·10
RB = 1025/6 = 170,8 kN

Düşey denge

RA = 65 + 70 − 170,8 = −35,83 kN

Cevap

RB = 170,8 kN

RA negatif: A’daki mafsal kirişi aşağı tutmak zorundadır.

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: MA = 1087 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir RA tepkisi ve bir MA tepki momenti verir. ΣFy = 0, RA’yı; duvara göre momentler MA = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Üçgen yükün bileşkesi

W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Duvara göre moment

MA = W·x̄ + P·a = 100·6,667 + 60·7 = 1087 kN·m

Cevap

MA = 1087 kN·m
3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: MA = −85 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Serbest uçtaki parçayı tutun

P: −20·3 = −60 kN·m
w: −2·5²/2 = −25 kN·m
MA = −60 − 25 = −85 kN·m

Cevap

MA = −85 kN·m

Negatif, üst liflerin çekmede olduğu anlamına gelir (negatif moment).

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 93,33 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 55·2 + 5·6·3
RB = 200/6 = 33,33 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 33,33 = 51,67 kN
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = 51,67RB​ = 33,33kesit2 m4 m

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 51,67·2 − 5·2·1 = 93,33 kN·m

Cevap

Mx = 93,33 kN·m
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 23,75 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 23,75 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 37,12 kN (C), BF: 13,75 kN (T), CG: 0, DH: 11,25 kN (T), BG: 19,45 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 51,25 kN (T), BC: 34,17 kN (T), CD: 34,17 kN (T), DE: 17,08 kN (T), FG: 51,25 kN (C), GH: 17,08 kN (C), AF: 45,31 kN (C), HE: 21,35 kN (C), BF: 12,19 kN (T), CG: 0, DH: 12,81 kN (T), BG: 21,35 kN (T), DG: 21,35 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG
7.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 2,55 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 2,55 mm

Cevap

δmax = 2,55 mm
8.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 138,1 × 10⁶ mm⁴
9.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 195,3 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Cevap

Pcr = 195,3 kN
10.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 179 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/10 = 105

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Cevap

σcr = 179 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis